Вероятность успеха в каждом отдельном испытании равна р, вероятность неуспеха равна q = 1 - р. Испытания производятся последовательные, одинаковые и независимые, пока не наступит…

Для решения этой задачи мы будем использовать концепцию вероятности и свойства независимых испытаний.

Пояснения:

1. Определения:

   • Вероятность успеха в каждом испытании обозначим как \( p \).
   • Вероятность неуспеха в каждом испытании равна \( q = 1 - p \).

2. Условие:

   • Успех должен произойти не позже третьего испытания. Это значит, что успех может произойти либо в первом, либо во втором, либо в третьем испытании.

3. События:

   • Давайте рассмотрим все возможные ситуации, когда успех происходит в течение трех испытаний:
   • Успех в 1-м испытании: \( P(Успех в 1-ом) = p \)
   • Успех во 2-м испытании: здесь первое испытание неудачно, а второе удачно, т.е. \( P(Успех во 2-ом) = q \cdot p \)
   • Успех в 3-м испытании: здесь первые два испытания неудачны, а третье удачно, т.е. \( P(Успех в 3-ем) = q \cdot q \cdot p = q^2 \cdot p \)

4. Объединение вероятностей:

   • Теперь, чтобы найти общую вероятность того, что успех произойдет не позже третьего испытания, мы сложим вероятности всех трех случаев: \[ P(Uспех \ не позднее \ третьего) = P(Успех в 1-ом) + P(Успех во 2-ом) + P(Успех в 3-ем) \] Подставим значения: \[ P(Uспех \ не позднее \ третьего) = p + (q \cdot p) + (q^2 \cdot p) \]

5. Факторизация:

   • Вынесем \( p \) за скобки: \[ P(Uспех \ не позднее \ третьего) = p(1 + q + q^2) \]

6. Упрощение:

   • Мы знаем, что \( q = 1 - p \). Однако, мы можем оставить выражение в таком виде, так как оно является обобщенным для \( p \).

7. Проверка через формулу:

   • Обратите внимание на часть \( 1 + q + q^2 \), это геометрическая прогрессия, сумма первых трех членов.
   • Можно записать сумму: \[ 1 + q + q^2 = \frac{1 - q^3}{1 - q} \text{ для } q \neq 1 \]

Финальная формула:

Итак, окончательно вероятность успеха не позже третьего испытания выражается как: \[ P(Uспех \ не позднее \ третьего) = p \cdot (1 + q + q^2) = p \cdot \frac{1 - q^3}{1 - q} \]

Подставляя \( q = 1 - p \), вы можете получить более конкретные значения, если это необходимо.

Ответ:

Вероятность события успешного исхода не позже третьего испытания равна \( p(1 + q + q^2) \) или \( p(1 + (1 - p) + (1 - p)^2) \).