3. Дан треугольник АВС с прямым углом С. cos A = 1 2 Найдите углы А и В, а также sin A, tg A, cos B, sin B и tg B.
Решим задачу, используя свойства прямоугольного треугольника.
Известные данные:
У нас есть треугольник ABC с прямым углом C. Из условия задачи знаем, что \(\cos A = \frac{1}{2}\).Нахождение угла A:
\(\cos A = \frac{1}{2}\) соответствует углу \(A\) в 60 градусах (или \(\frac{\pi}{3}\) радиан) в тригонометрии, так как: \[ A = 60^\circ \]Нахождение угла B:
В прямоугольном треугольнике сумма углов A и B равна 90 градусам: \[ B = 90^\circ - A = 90^\circ - 60^\circ = 30^\circ \]Нахождение значений тригонометрических функций:
Теперь найдем синусы и тангенсы углов A и B.Для угла A (60 градусов): \[ \sin A = \cos(90^\circ - A) = \cos B = \sin 60^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2} \] \[ \tan A = \frac{\sin A}{\cos A} = \frac{\frac{\sqrt{3}}{2}}{\frac{1}{2}} = \sqrt{3} \]
Для угла B (30 градусов): \[ \sin B = \cos(90^\circ - B) = \cos A = \sin 30^\circ = \frac{1}{2} \] \[ \tan B = \frac{\sin B}{\cos B} = \frac{\frac{1}{2}}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = \frac{1}{\sqrt{3}} \text{ (или } \frac{\sqrt{3}}{3} \text{ в виде дроби)} \]
Итоговые значения:
- Угол А: \(A = 60^\circ\)
- Угол B: \(B = 30^\circ\)
- \(\sin A = \frac{\sqrt{3}}{2}\)
- \(\tan A = \sqrt{3}\)
- \(\cos B = \frac{\sqrt{3}}{2}\)
- \(\sin B = \frac{1}{2}\)
- \(\tan B = \frac{1}{\sqrt{3}} \text{ или } \frac{\sqrt{3}}{3}\)
Эти значения полностью описывают тригонометрические функции углов A и B в данном треугольнике. Если у вас есть вопросы или что-то непонятно, не стесняйтесь спрашивать!
