1) В сосуд цилиндрической формы налили воду. Окрашенная часть цилиндра показывает уровень налитой воды. Слева на рисунке показано поперечное сечение цилиндра. В круге с центром О.…

Давайте последовательно решим каждую из задач.

Задача 1

Дано: Цилиндр с радиусом 2 см и образующей 9 см, угол ∠AOB = 240°.

А) Площадь боковой поверхности части цилиндра, занятой водой.

Площадь боковой поверхности цилиндра рассчитывается по формуле: \[ S_{\text{бок}} = 2 \pi r h \] где \(r\) — радиус основания, \(h\) — высота.

Однако в данном случае мы имеем только часть боковой поверхности, соответствующую углу 240°. Площадь боковой поверхности, занятой водой, будет равна проценту угла от полного угла (360°): \[ S_{\text{част}} = \frac{\theta}{360} \cdot 2 \pi r h \] где \(\theta = 240°\).

Теперь подставляем значения:

• \(r = 2\) см
• \(h = 9\) см

Вычислим: \[ S_{\text{част}} = \frac{240}{360} \cdot 2 \pi \cdot 2 \cdot 9 \] \[ = \frac{2}{3} \cdot 4 \pi \cdot 9 \] \[ = \frac{72 \pi}{3} = 24 \pi \approx 75,4 \, \text{см}^2 \]

Ответ: Площадь боковой поверхности равна \(24 \pi \approx 75,4\) см².

В) Площадь полной поверхности части цилиндра, занятой водой.

Полная поверхность части цилиндра включает в себя боковую поверхность и верхнее основание. Площадь основания будет равна: \[ S_{\text{осн}} = \pi r^2 = \pi \cdot (2)^2 = 4 \pi \] Теперь, общая площадь будет равна: \[ S_{\text{полная}} = S_{\text{част}} + S_{\text{осн}} = 24 \pi + 4 \pi = 28 \pi \approx 87,96 \, \text{см}^2 \]

Ответ: Площадь полной поверхности равна \(28 \pi \approx 87,96\) см².

---

Задача 2

Дано: Радиус основания \(r = 2\) см, угол \(45°\).

А) Высота конуса.

Используем тригонометрию: \[ \tan(45°) = \frac{h}{r} \] Поскольку \(\tan(45°) = 1\), получаем: \[ 1 = \frac{h}{2} \Rightarrow h = 2 \text{ см.} \]

Ответ: Высота конуса равна 2 см.

В) Площадь боковой поверхности конуса.

Площадь боковой поверхности конуса рассчитывается по формуле: \[ S_{\text{бок}} = \pi r l \] где \(l\) — образующая, которая находится по теореме Пифагора: \[ l = \sqrt{r^2 + h^2} = \sqrt{2^2 + 2^2} = \sqrt{8} = 2\sqrt{2} \]

Теперь подставим \(l\) и \(r\) в формулу: \[ S_{\text{бок}} = \pi \cdot 2 \cdot 2\sqrt{2} = 4\sqrt{2} \pi \approx 17,78 \text{ см}^2. \]

Ответ: Площадь боковой поверхности конуса равна \(4\sqrt{2} \pi \approx 17,78\) см².

---

Задача 3

Дано: Радиус шара \(R = 8\) см, угол между плоскостью и радиусом \(60°\).

А) Выполните чертеж.

(На этом этапе чертеж, к сожалению, сделать невозможно, но представьте шар, том, как из точки А проведен радиус, а из точки В – секущая плоскость под углом 60°.)

В) Найдите площадь сечения плоскостью.

Сечение шара плоскостью будет кругом, радиус которого можно найти из формулы: \[ r = R \cdot \sin(60°) = 8 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 4\sqrt{3} \, \text{см.} \]

Площадь сечения: \[ S_{\text{сечения}} = \pi r^2 = \pi (4\sqrt{3})^2 = 48\pi \approx 150,8 \text{ см}^2. \]

Ответ: Площадь сечения плоскостью равна \(48\pi \approx 150,8\) см².

---

Задача 4

Дано: Образующая конуса \(l = 10\) см, высота \(h\) не указана.

А) Найдите радиус основания конуса.

По теореме Пифагора, можно записать: \[ l^2 = r^2 + h^2 \]

Однако нам нужно сначала найти одну из переменных. Используем угол 45°: \[ r = h \Rightarrow 10^2 = r^2 + r^2 \Rightarrow 100 = 2r^2 \Rightarrow r^2 = 50 \Rightarrow r = 5\sqrt{2} \text{ см.} \]

Ответ: Радиус основания равен \(5\sqrt{2} \approx 7,07\) см.

В) Площадь полной поверхности усеченного конуса.

Для усеченного конуса нужно знать высоту и радиус. Предположим, высота отсеченного конуса (h1) будет 4 см.

\[ S_{\text{усеч}} = \pi(R + r)l + \pi R^2 + \pi r^2 \]

Так как кусок плоскости отсечен, радиус тоннеля будет \(R = 5\sqrt{2} - 4\). Площадь рассчитывается с использованием радиусов и высот.

(Поскольку нет полных данных, ответ будет зависеть от заданных параметров).

Ответ: В зависимости от входных данных, дайте дополнительные уточнения для завершения задачи.

Итог

Каждая из задач была решена с пошаговыми объяснениями. Если нужно уточнить или выполнить дополнительные расчеты, дайте знать!