Чтобы найти сумму первых двадцати восьми членов последовательности, заданной формулой ( a_n = -2n + 4 ), выполним следующие шаги:
Шаг 1: Найти первые 28 членов последовательности
Сначала нужно определить, какие именно значения принимает последовательность для ( n = 1, 2, \ldots, 28 ).
[
\begin{align*}
a_1 & = -2 \cdot 1 + 4 = 2, \
a_2 & = -2 \cdot 2 + 4 = 0, \
a_3 & = -2 \cdot 3 + 4 = -2, \
a_4 & = -2 \cdot 4 + 4 = -4, \
& \vdots \
a_{28} & = -2 \cdot 28 + 4 = -52.
\end{align*}
]
Шаг 2: Найти сумму первых 28 членов
Сумма первых ( n ) членов последовательности, заданной формулой, может быть найдена с помощью формулы суммы арифметической последовательности:
[
S_n = \frac{n}{2} \cdot (a_1 + a_n),
]
где ( S_n ) — сумма первых ( n ) членов, ( a_1 ) — первый член, ( a_n ) — n-й член, и ( n ) — количество членов.
Мы уже нашли ( a_1 = 2 ) и ( a_{28} = -52 ). Теперь подставим значения в формулу.
Шаг 3: Подстановка в Формулу
Теперь можем подставить значения в формулу суммы:
[
S_{28} = \frac{28}{2} \cdot (a_1 + a_{28}) = 14 \cdot (2 + (-52)).
]
Шаг 4: Вычисления
Упростим выражение в скобках:
[
2 + (-52) = 2 - 52 = -50.
]
Теперь подставим это значение в формулу для суммы:
[
S_{28} = 14 \cdot (-50) = -700.
]
Ответ
Таким образом, сумма первых двадцати восьми членов заданной последовательности равна (-700).
