1/x^2 + 2/x -3 =0
Для решения уравнения \( \frac{1}{x^2} + \frac{2}{x} - 3 = 0 \), начнем с преобразования его в более удобный вид.
Шаг 1: Умножение на общий знаменатель
Поскольку у нас есть дроби, давайте избавимся от них. Общий знаменатель для дробей \( x^2 \) и \( x \) — это \( x^2 \). Умножим уравнение на \( x^2 \):
\[ x^2 \left( \frac{1}{x^2} \right) + x^2 \left( \frac{2}{x} \right) - x^2 \cdot 3 = 0 \]
Это упростится до:
\[ 1 + 2x - 3x^2 = 0 \]
Шаг 2: Приведение уравнения к стандартному виду
Теперь можно переписать уравнение в стандартном виде:
\[ -3x^2 + 2x + 1 = 0 \]
Чтобы упростить работу с коэффициентами, давайте умножим все уравнение на -1:
\[ 3x^2 - 2x - 1 = 0 \]
Шаг 3: Применение формулы дискриминанта
Теперь используем формулу дискриминанта \( D = b^2 - 4ac \), где \( a = 3 \), \( b = -2 \), \( c = -1 \).
\[ D = (-2)^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-1) \]
Вычислим:
\[ D = 4 + 12 = 16 \]
Шаг 4: Нахождение корней уравнения
Теперь воспользуемся формулой корней квадратного уравнения:
\[ x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} \]
Подставим значения:
\[ x = \frac{-(-2) \pm \sqrt{16}}{2 \cdot 3} \] \[ x = \frac{2 \pm 4}{6} \]
Теперь отдельно найдём два корня:
- \( x_1 = \frac{2 + 4}{6} = \frac{6}{6} = 1 \)
- \( x_2 = \frac{2 - 4}{6} = \frac{-2}{6} = -\frac{1}{3} \)
Шаг 5: Запись окончательных решений
Таким образом, мы нашли два решения уравнения:
\[ x_1 = 1 \quad \text{и} \quad x_2 = -\frac{1}{3} \]
Вывод
Уравнение \( \frac{1}{x^2} + \frac{2}{x} - 3 = 0 \) имеет два корня: \( x = 1 \) и \( x = -\frac{1}{3} \).
