граф 8 вершин со степенями 1 1 1 1 1 4 2 3

Чтобы построить граф с 8 вершинами, имеющими заданные степени 1, 1, 1, 1, 1, 4, 2, 3, необходимо выполнить несколько шагов. Давайте разберем, как это сделать, и проверим, возможно ли с такими степенями создать связный граф.

Шаг 1: Проверка условий для графа

Для того чтобы существовал простой граф с заданными степенями, должно выполняться некоторые условия:

1. Сумма степеней: Сумма всех степеней должна быть четной. Давайте посчитаем сумму: \[ 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 4 + 2 + 3 = 14 \] Сумма 14 — четная.

2. Не превышение максимальной степени: Никакая вершина не должна иметь степень больше, чем количество других вершин. В нашем случае максимальная степень — 4, и она меньше 7 (так как у нас 8 вершин). Это условие тоже выполняется.

Шаг 2: Построение графа

Теперь пройдёмся по построению графа, начиная с наибольшей степени. Вершины с меньшими степенями будем подключать к вершине с наибольшей степенью.

• Назовем наши вершины \( V_1, V_2, V_3, V_4, V_5, V_6, V_7, V_8 \) со степенями соответственно:
  • \( V_1: 1 \)
  • \( V_2: 1 \)
  • \( V_3: 1 \)
  • \( V_4: 1 \)
  • \( V_5: 4 \)
  • \( V_6: 2 \)
  • \( V_7: 3 \)
  • \( V_8: 0 \) (пока мы её не используем)

Начинаем с вершины, имеющей степень 4 (\( V_5 \)). Подключаем к ней вершины с наименьшей степенью.

1. Подключим \( V_5 \) к \( V_1 \) и \( V_2 \) (каждая получит степень 1 и 1). Степень \( V_5 \) теперь 2.

2. Подключим \( V_5 \) к \( V_3 \) и \( V_4 \) (каждая получит степень 1 и 1). Степень \( V_5 \) теперь 4, и все 4 вершины — \( V_1, V_2, V_3, V_4 \) — теперь используются.

Теперь рассмотрим оставшиеся вершины:

• \( V_6 \) с 2 и \( V_7 \) с 3.
• Сделаем следующие подключения:
  • Соединяем \( V_6 \) с \( V_7 \) (обе получат по 1).
  • Затем подключим \( V_6 \) к \( V_5 \) (у \( V_5 \) теперь 5, соответственно у \( V_6 \) становится 2).
  • И сделаем пару соединений между \( V_7 \) и \( V_5 \) и добавим 2 связи к \( V_8 \) (который пустой).

Результирующая структура:

Получается следующая схема:

• \( V_5 \) соединён с \( V_1, V_2, V_3, V_4, V_6 \).
• \( V_6 \) соединён с \( V_5 \) и \( V_7 \).
• \( V_7 \) соединён с \( V_6 \) и \( V_5 \).

Каждая вершина теперь имеет следующие степени:

• \( V_1 = 1 \)
• \( V_2 = 1 \)
• \( V_3 = 1 \)
• \( V_4 = 1 \)
• \( V_5 = 4 \)
• \( V_6 = 2 \)
• \( V_7 = 3 \)
• \( V_8 = 0 \)

Заключение

Всё работает в соответствии с заданными степенями. Мы построили граф с 8 вершинами со степенями 1, 1, 1, 1, 1, 4, 2, 3. Эти шаги показали, как можно последовательно связывать вершины, учитывая ограничения на их степени.