Чтобы решить эту задачу, сначала отметим, что у нас есть прямоугольный треугольник с углом 60 градусов и известной суммой гипотенузы и меньшего катета. Давайте обозначим меньший катет как ( a ), больший катет как ( b ), а гипотенузу как ( c ).
Шаг 1: Использование тригонометрических свойств
Поскольку у нас есть угол в 60 градусов, мы можем использовать соотношения в прямоугольном треугольнике:
Синус угла 60°:
[
\sin(60°) = \frac{a}{c} = \frac{\sqrt{3}}{2}
]
Косинус угла 60°:
[
\cos(60°) = \frac{b}{c} = \frac{1}{2}
]
Из первого уравнения можно выразить гипотенузу через меньший катет:
[
c = \frac{a}{\sin(60°)} = \frac{a}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = \frac{2a}{\sqrt{3}}
]
Шаг 2: Сумма гипотенузы и меньшего катета
По условию задачи:
[
c + a = 8,1
]
Теперь подставим выражение для ( c ):
[
\frac{2a}{\sqrt{3}} + a = 8,1
]
Шаг 3: Приведение к общему знаменателю
Объединим термины:
[
\frac{2a}{\sqrt{3}} + \frac{\sqrt{3}a}{\sqrt{3}} = 8,1
]
[
\frac{2a + \sqrt{3}a}{\sqrt{3}} = 8,1
]
[
\frac{(2 + \sqrt{3})a}{\sqrt{3}} = 8,1
]
Шаг 4: Умножение обеих сторон на ( \sqrt{3} )
Чтобы избавиться от дроби, умножим обе стороны уравнения на ( \sqrt{3} ):
[
(2 + \sqrt{3})a = 8,1 \sqrt{3}
]
Шаг 5: Изолирование ( a )
Теперь разделим обе стороны на ( 2 + \sqrt{3} ):
[
a = \frac{8,1\sqrt{3}}{2 + \sqrt{3}}
]
Шаг 6: Вычисление значения
Теперь подставим значение ( \sqrt{3} \approx 1,732 ):
[
a = \frac{8,1 \times 1,732}{2 + 1,732} \approx \frac{14,0662}{3,732} \approx 3,77
]
Таким образом, меньший катет ( a ) равен примерно 3,77 см.
Ответ
Меньший катет этого прямоугольного треугольника равен примерно 3,77 см.
