Один из углов прямоугольного треугольника равен 60 а сумма гипотенузы и меньшего из катетов равна 8,1 см. Найдите меньший катет этого прямоугольного треугольника.

Чтобы решить эту задачу, сначала отметим, что у нас есть прямоугольный треугольник с углом 60 градусов и известной суммой гипотенузы и меньшего катета. Давайте обозначим меньший катет как \( a \), больший катет как \( b \), а гипотенузу как \( c \).

Шаг 1: Использование тригонометрических свойств

Поскольку у нас есть угол в 60 градусов, мы можем использовать соотношения в прямоугольном треугольнике:

1. Синус угла 60°: \[ \sin(60°) = \frac{a}{c} = \frac{\sqrt{3}}{2} \]

2. Косинус угла 60°: \[ \cos(60°) = \frac{b}{c} = \frac{1}{2} \]

Из первого уравнения можно выразить гипотенузу через меньший катет: \[ c = \frac{a}{\sin(60°)} = \frac{a}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = \frac{2a}{\sqrt{3}} \]

Шаг 2: Сумма гипотенузы и меньшего катета

По условию задачи: \[ c + a = 8,1 \]

Теперь подставим выражение для \( c \): \[ \frac{2a}{\sqrt{3}} + a = 8,1 \]

Шаг 3: Приведение к общему знаменателю

Объединим термины: \[ \frac{2a}{\sqrt{3}} + \frac{\sqrt{3}a}{\sqrt{3}} = 8,1 \] \[ \frac{2a + \sqrt{3}a}{\sqrt{3}} = 8,1 \] \[ \frac{(2 + \sqrt{3})a}{\sqrt{3}} = 8,1 \]

Шаг 4: Умножение обеих сторон на \( \sqrt{3} \)

Чтобы избавиться от дроби, умножим обе стороны уравнения на \( \sqrt{3} \): \[ (2 + \sqrt{3})a = 8,1 \sqrt{3} \]

Шаг 5: Изолирование \( a \)

Теперь разделим обе стороны на \( 2 + \sqrt{3} \): \[ a = \frac{8,1\sqrt{3}}{2 + \sqrt{3}} \]

Шаг 6: Вычисление значения

Теперь подставим значение \( \sqrt{3} \approx 1,732 \): \[ a = \frac{8,1 \times 1,732}{2 + 1,732} \approx \frac{14,0662}{3,732} \approx 3,77 \]

Таким образом, меньший катет \( a \) равен примерно 3,77 см.

Ответ

Меньший катет этого прямоугольного треугольника равен примерно 3,77 см.