Дан треугольник АВС такой, что угол A = 45°, угол B = 60°, ВC = 162 √6 см. Найди АС (запиши только число).
Чтобы найти длину стороны \( AC \) в треугольнике \( ABC \) с известными углами \( A \) и \( B \) и стороной \( BC \), мы можем использовать закон синусов.
Сначала найдем угол C. В любом треугольнике сумма углов равна \( 180^\circ \): \[ C = 180^\circ - A - B = 180^\circ - 45^\circ - 60^\circ = 75^\circ \]
Теперь применим закон синусов: \[ \frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C} \] где:
- \( a = BC = 162\sqrt{6} \) см,
- \( b = AC \) — то, что нужно найти,
- \( c = AB \) — не будет нужен,
- \( A = 45^\circ \),
- \( B = 60^\circ \),
- \( C = 75^\circ \).
Выразим сторону \( AC \): \[ \frac{AC}{\sin A} = \frac{BC}{\sin C} \] Подставляем известные значения: \[ \frac{AC}{\sin 45^\circ} = \frac{162\sqrt{6}}{\sin 75^\circ} \]
Вычислим синусы: \(\sin 45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2}\), \(\sin 75^\circ = \sin(45^\circ + 30^\circ) = \sin 45^\circ \cos 30^\circ + \cos 45^\circ \sin 30^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}\).
Теперь подставляем значения: \[ \frac{AC}{\frac{\sqrt{2}}{2}} = \frac{162\sqrt{6}}{\frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}} \] Умножаем обе стороны на \( \frac{\sqrt{2}}{2} \): \[ AC = \frac{162\sqrt{6} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}}{\frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}} = \frac{162\sqrt{6} \cdot \sqrt{2}}{2} \cdot \frac{4}{\sqrt{6} + \sqrt{2}} \] Упрощаем: \[ AC = \frac{324\sqrt{12}}{\sqrt{6} + \sqrt{2}} = \frac{324 \cdot 2\sqrt{3}}{\sqrt{6} + \sqrt{2}} = \frac{648\sqrt{3}}{\sqrt{6} + \sqrt{2}} \]
Теперь находим численное значение: \[ \sqrt{6} + \sqrt{2} \approx 2.45 + 1.41 = 3.86. \] Следовательно: \[ AC \approx \frac{648\cdot 1.73}{3.86} \approx \frac{1123.44}{3.86} \approx 291.63. \]
Таким образом, округляем до целого: \[ AC \approx 291.6 \text{ см}. \]
Итак, в соответствии с заданием, записываем только число: 292.
