Чтобы решить задачу, начнем с формул для объема и площади поверхности шара.
Формула объема шара:
Объем ( V ) шара рассчитывается по формуле:
[
V = \frac{4}{3} \pi r^3
]
где ( r ) — радиус шара.
Формула площади поверхности шара:
Площадь поверхности ( S ) шара вычисляется по формуле:
[
S = 4 \pi r^2
]
Дано:
Объем одного шара в 512 раз больше объема другого шара. Пусть первый шар имеет радиус ( r_1 ), а второй - ( r_2 ). Тогда:
[
V_1 = 512 V_2
]
Подставим формулы для объемов:
[
\frac{4}{3} \pi r_1^3 = 512 \left(\frac{4}{3} \pi r_2^3\right)
]
Сократив общие множители ((\frac{4}{3} \pi)), получаем:
[
r_1^3 = 512 r_2^3
]
Решим уравнение:
Чтобы выделить ( r_1 ), извлечем кубический корень:
[
r_1 = \sqrt[3]{512} r_2
]
Поскольку ( 512 = 8^3 ), получаем:
[
r_1 = 8 r_2
]
Теперь найдем площади поверхности:
Используем формулы для площадей поверхности:
[
S_1 = 4 \pi r_1^2
]
[
S_2 = 4 \pi r_2^2
]
Теперь подставим ( r_1 ):
[
S_1 = 4 \pi (8 r_2)^2 = 4 \pi (64 r_2^2) = 256 \pi r_2^2
]
Теперь можем вычислить отношение площадей:
[
\frac{S_1}{S_2} = \frac{256 \pi r_2^2}{4 \pi r_2^2}
]
Сократив ( 4 \pi r_2^2 ):
[
\frac{S_1}{S_2} = \frac{256}{4} = 64
]
Ответ:
Площадь поверхности первого шара в 64 раза больше площади поверхности второго шара.
