Боковое ребро правильной треугольной пирамилы 6дм,а плоский угол при вершине 60°.Найдите обхём пирамиды.

Чтобы найти объем правильной треугольной пирамиды, нам нужно знать площадь основания и высоту пирамиды. В этой задаче у нас есть боковое ребро и угол при вершине.

1. Определим элементы пирамиды:

   • Боковое ребро (длина \( a = 6 \) дм).
   • Плоский угол при вершине \( \alpha = 60° \).

2. Найдем высоту пирамиды: Высоту \( h \) пирамиды можно найти с помощью геометрии. В правильной треугольной пирамиде высота, проведенная из вершины к основанию, делит угол при вершине пополам. Таким образом, высота образует прямоугольный треугольник с половиной стороны основания и боковым ребром.

   Обозначим:

   • \( OA \) - высота от вершины \( O \) до центра основания (перпендикулярно).
   • \( OA = h \).
   • \( OM \) - половина стороны основания.

   Мы знаем, что угол \( \alpha = 60° \), а также что в равностороннем треугольнике, образованном боковым ребром, мы можем написать следующее уравнение по синусу угла:

   \[ \sin(\alpha) = \frac{h}{6} \]

   Подставим значение угла:

   \[ \sin(60°) = \frac{\sqrt{3}}{2} \]

   Таким образом:

   \[ \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{h}{6} \]

   Решим это уравнение для \( h \):

   \[ h = 6 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 3\sqrt{3} \text{ дм} \]

3. Найдем сторону основания: Чтобы найти сторону основания \( x \), мы используем косинус угла:

   \[ \cos(60°) = \frac{x/2}{6} \]

   Отсюда:

   \[ \frac{1}{2} = \frac{x/2}{6} \]

   Умножаем обе стороны на \( 12 \):

   \[ 6 = x \]

4. Найдем площадь основания: Основание пирамиды — это равносторонний треугольник. Площадь равностороннего треугольника расчитывается по формуле:

   \[ S = \frac{\sqrt{3}}{4} x^2 \]

   Подставив найденное значение стороны \( x = 6 \):

   \[ S = \frac{\sqrt{3}}{4} \cdot 6^2 = \frac{\sqrt{3}}{4} \cdot 36 = 9\sqrt{3} \text{ дм}^2 \]

5. Найдем объем пирамиды: Объем \( V \) пирамиды рассчитывается по формуле:

   \[ V = \frac{1}{3} \cdot S \cdot h \]

   Подставив известные значения:

   \[ V = \frac{1}{3} \cdot 9\sqrt{3} \cdot 3\sqrt{3} = \frac{1}{3} \cdot 9 \cdot 3 = 9 \text{ дм}^3 \]

Ответ: Объем пирамиды равен \( 9 \text{ дм}^3 \).