Даны точки A(3;-2) и В(-4;1). Найдите координаты вектора АВ" и его длину.

Для решения задачи о нахождении координат вектора \( \overrightarrow{AB} \) и его длины, следуем пошагово.

Шаг 1: Нахождение координат вектора \( \overrightarrow{AB} \)

Вектор \( \overrightarrow{AB} \) определяется как разность координат конечной точки \( B \) и начальной точки \( A \). Формула для нахождения координат вектора выглядит следующим образом:

\[ \overrightarrow{AB} = (x_B - x_A, y_B - y_A) \]

Где:

• \( A(x_A, y_A) \) и \( B(x_B, y_B) \) — координаты точек \( A \) и \( B \).

Дано:

• \( A(3; -2) \) → \( x_A = 3 \), \( y_A = -2 \)
• \( B(-4; 1) \) → \( x_B = -4 \), \( y_B = 1 \)

Теперь подставим координаты в формулу:

\[ \overrightarrow{AB} = (-4 - 3, 1 - (-2)) \]

Производим вычисления:

1. Для \( x \)-координаты: \[ -4 - 3 = -7 \]

2. Для \( y \)-координаты: \[ 1 - (-2) = 1 + 2 = 3 \]

Таким образом, координаты вектора \( \overrightarrow{AB} \) равны \( (-7, 3) \).

Шаг 2: Нахождение длины вектора \( \overrightarrow{AB} \)

Длина (модуль) вектора \( \overrightarrow{AB} \) вычисляется по формуле:

\[ |\overrightarrow{AB}| = \sqrt{(x_B - x_A)^2 + (y_B - y_A)^2} \]

Используя найденные координаты вектора:

\[ |\overrightarrow{AB}| = \sqrt{(-7)^2 + (3)^2} \]

Теперь вычислим:

1. \( (-7)^2 = 49 \)
2. \( (3)^2 = 9 \)

Складываем результаты:

\[ |\overrightarrow{AB}| = \sqrt{49 + 9} = \sqrt{58} \]

Ответ:

Координаты вектора \( \overrightarrow{AB} \) равны \( (-7, 3) \), а длина вектора \( |\overrightarrow{AB}| \) равна \( \sqrt{58} \).

Таким образом, мы успешно нашли координаты вектора и его длину. Если понадобятся дополнительные объяснения или помощь, дайте знать!