Чтобы решить данные задачи, нужно использовать формулы для колебательного контура, который состоит из катушки индуктивности (L) и конденсатора с ёмкостью (C).
Формула для периода колебаний (T) в колебательном контуре:
[
T = 2\pi \sqrt{LC}
]
где:
- (T) — период колебаний,
- (L) — индуктивность катушки,
- (C) — ёмкость конденсатора.
Задача 1: Найти ёмкость конденсатора
Даны:
- (L = 0,2) Гн (Генри),
- (T = 0,02) с (секунды).
- Подставим известные значения в формулу для периода:
[
0,02 = 2\pi \sqrt{0,2C}
]
- Разделим обе стороны на (2\pi):
[
\frac{0,02}{2\pi} = \sqrt{0,2C}
]
- Возведём обе стороны в квадрат:
[
\left(\frac{0,02}{2\pi}\right)^2 = 0,2C
]
- Выразим ёмкость (C):
[
C = \frac{1}{0,2}\left(\frac{0,02}{2\pi}\right)^2
]
- Вычислим:
Сначала найдем (\frac{0,02}{2\pi}):
[
\frac{0,02}{2\pi} \approx \frac{0,02}{6,2832} \approx 0,003183
]
Теперь возведем в квадрат:
[
(0,003183)^2 \approx 0,0000101489
]
Умножим это значение на (\frac{1}{0,2}):
[
C \approx \frac{0,0000101489}{0,2} \approx 0,0000507445 \text{ Ф}
]
Преобразуем в пикофарады (1 Ф = (10^{12}) пФ):
[
C \approx 50,7445 \text{ пФ} \approx 50,7 \text{ пФ}
]
Ответ:
Ёмкость конденсатора примерно равна 50,7 пикофарад.
Задача 2: Найти индуктивность катушки
Даны:
- (C = 50) пикофарад = (50 \times 10^{-12}) Ф,
- (T = 0,001) с (секунды).
- Подставим известные значения в формулу для периода:
[
0,001 = 2\pi \sqrt{L \cdot 50 \times 10^{-12}}
]
- Разделим обе стороны на (2\pi):
[
\frac{0,001}{2\pi} = \sqrt{L \cdot 50 \times 10^{-12}}
]
- Возведём обе стороны в квадрат:
[
\left(\frac{0,001}{2\pi}\right)^2 = L \cdot 50 \times 10^{-12}
]
- Выразим (L):
[
L = \frac{\left(\frac{0,001}{2\pi}\right)^2}{50 \times 10^{-12}}
]
- Вычислим:
Сначала найдем (\frac{0,001}{2\pi}):
[
\frac{0,001}{2\pi} \approx \frac{0,001}{6,2832} \approx 0,00015915
]
Теперь возведём в квадрат:
[
(0,00015915)^2 \approx 0,000000025309
]
Умножим это значение на (1/(50 \times 10^{-12})):
[
L \approx \frac{0,000000025309}{50 \times 10^{-12}} = \frac{0,000000025309}{0,000000050} \approx 0,50618 \text{ Гн}
]
Ответ:
Индуктивность катушки примерно равна 0,506 Гн.
