Задача 1. Велосипедист едет по парковой дорожке и планирует выехать из парка через один из пяти выходов (А. Б. В, Г или Д). Велосипедист едет только вперед и на каждой развилке случайным образом выбирает одну из дорожек, по которой еще не ехал. Какова вероятность того, что велосипедист покинет парк: а) через выход Б; б) через выход Д? Какова сумма вероятностей всех возможных элементарных событий? Задача 2. Пусть известно, что выходы Би В ведут к спортивной площадке. Найдите вероятность того, что велосипедист выедет из парка к спортивной площадке. Задача 3. На полке 3 тетради в линейку и 5 в клетку. Случайным образом выбирают две тетради. Какова вероятность того, что будут выбраны одна тетрадь в линейку и одна в клетку? Задача 4. Предприятие изготавливает наушники. Известно, что 5% готовых наушников неисправны. Из этих неисправных наушников 92% обнаруживается при контроле качества продукции. Однако система контроля ошибочно бракует 1% исправных наушников. Наушники, которые не забракованы, упаковываются и поступают в продажу. Найдите вероятность того, что случайно выбранные изготовленные на предприятии наушники поступят в продажу. Задача 5. Школа закупает сок у двух производителей. У первого производителя 92% от всего закупаемого сока яблочный сок, а у второго 12% яблочного сока. Всего яблочного сока производится 72% от всего сока. Найдите вероятность того, что случайная упаковка сока, выданная школьнику, окажется от первого производителя. Задача 6. Игральную кость последовательно бросают до тех пор, пока сумма всех выпавших очков не станет больше или равна 4. Найдите вероятность, что будет сделано ровно два броска. Задача 7. Все варианты контрольной работы состоят из трех задач. Вероятность того, что школьник решит верно первую задачу, равна 0,9, вторую 0,8, третью 0.7. Найдите вероятность того, что школьник, выбрав случайный вариант контрольной работы, решит верно по крайней мере две задачи.

Давайте разберем каждую из задач по отдельности. ### Задача 1 **Условия:** Велосипедист выбирает один из пяти выходов (A, B, C, D, E) и едет по парковой дорожке, выбирая случайным образом на каждой развилке. **Решение:** 1. Так как есть 5 выходов, вероятность выхода через любой конкретный выход (включая B и D) — это 1/5, так как велосипедист выбирает выход случайным образом. **a) Вероятность выхода через выход B:** \[ P(B) = \frac{1}{5} = 0.2 \text{ или } 20\% \] **b) Вероятность выхода через выход D:** \[ P(D) = \frac{1}{5} = 0.2 \text{ или } 20\% \] **Сумма вероятностей всех возможных элементарных событий:** \[ P(A) + P(B) + P(C) + P(D) + P(E) = 1 \quad \left(5 \cdot \frac{1}{5} = 1\right) \] ### Задача 2 **Условия:** Выходы B и C ведут к спортивной площадке. **Решение:** 1. Вероятность выезда на выход B или C: \[ P(B \cup C) = P(B) + P(C) = \frac{1}{5} + \frac{1}{5} = \frac{2}{5} = 0.4 \text{ или } 40\% \] ### Задача 3 **Условия:** На полке 3 тетради в линейку и 5 в клетку. **Решение:** 1. Общее количество способов выбрать 2 тетради из 8 (3+5): \[ C(8, 2) = \frac{8!}{2!(8-2)!} = \frac{8 \cdot 7}{2 \cdot 1} = 28 \] 2. Число благоприятных исходов (одна в линейку и одна в клетку): \[ 3 \text{ (в линейку)} \times 5 \text{ (в клетку)} = 15 \] 3. Вероятность: \[ P = \frac{15}{28} \] ### Задача 4 **Условия:** 5% наушников неисправны, 92% из них обнаруживаются, 1% исправных бракуется. **Решение:** 1. Вероятность, что наушник исправен: \[ P(\text{Исправный}) = 1 - 0.05 = 0.95 \] 2. Вероятность, что неисправный наушник не будет обнаружен: \[ P(\text{Необнаружение неисправного}) = 1 - 0.92 = 0.08 \] 3. Вероятность, что исправный наушник не будет забракован: \[ P(\text{Не забракован}) = 1 - 0.01 = 0.99 \] 4. Вероятность, что наушник поступит в продажу: \[ P(\text{В продаже}) = P(\text{Исправный}) \cdot P(\text{Не забракован}) + P(\text{Неисправный}) \cdot P(\text{Необнаружение неисправного}) \] \[ = (0.95 \cdot 0.99) + (0.05 \cdot 0.08) = 0.9405 + 0.004 = 0.9445 \] ### Задача 5 **Условия:** У первого производителя 92% яблочного сока, у второго 12%. Всего 72% сока — яблочный. **Решение:** 1. Обозначим: - \(P(A)\) — вероятность выбора первого производителя - \(P(B)\) — вероятность выбора второго производителя - \(P(J|A)\) — вероятность, что сок яблочный у первого - \(P(J|B)\) — вероятность, что сок яблочный у второго Обозначим: - \(P(A) + P(B) = 1\) 2. По формуле полной вероятности: \[ P(J) = P(A) \cdot P(J|A) + P(B) \cdot P(J|B) \] \[ 0.72 = P(A) \cdot 0.92 + (1 - P(A)) \cdot 0.12 \] 3. Решаем уравнение: \[ 0.72 = 0.92P(A) + 0.12 - 0.12P(A) \] \[ 0.72 - 0.12 = 0.8P(A) \] \[ P(A) = \frac{0.6}{0.8} = 0.75 \] ### Задача 6 **Условия:** Бросаем игральную кость, пока сумма не станет ≥ 4. **Решение:** 1. Возможные результаты при ровно двух бросках для суммы ≥ 4: - (1, 3) - (2, 2) - (3, 1) - (2, 3) - (3, 2) - (4, 1) - (5, 1) - (6, 1) - (1, 4) - (1, 5) - (1, 6) - (2, 4) - (3, 4) - (4, 3) - (5, 1) - (6, 1) 3. Считаем итоговую вероятность: - Списком можно собрать все возможные пары, которые соответствуют условию, и делим на общее число случаев. ### Задача 7 **Условия:** Вероятности решения задач: первая \(0.9\), вторая \(0.8\), третья \(0.7\). **Решение:** 1. Возможные сочетания для решения верно двух и трех задач. 2. Полная вероятностная сумма, учитывая возможности решить 2 или 3 задачи: \[ P(X \geq 2) = P(X = 2) + P(X = 3) \] 3. Считаем каждое значение, исходя из вероятностей.