Задача 1. Велосипедист едет по парковой дорожке и планирует выехать из парка через один из пяти выходов (А. Б. В, Г или Д). Велосипедист едет только вперед и на каждой развилке…

Давайте разберем каждую из задач по отдельности.

Задача 1

Условия: Велосипедист выбирает один из пяти выходов (A, B, C, D, E) и едет по парковой дорожке, выбирая случайным образом на каждой развилке.

Решение:

1. Так как есть 5 выходов, вероятность выхода через любой конкретный выход (включая B и D) — это 1/5, так как велосипедист выбирает выход случайным образом.

a) Вероятность выхода через выход B:
\[ P(B) = \frac{1}{5} = 0.2 \text{ или } 20\% \]

b) Вероятность выхода через выход D:
\[ P(D) = \frac{1}{5} = 0.2 \text{ или } 20\% \]

Сумма вероятностей всех возможных элементарных событий:
\[ P(A) + P(B) + P(C) + P(D) + P(E) = 1 \quad \left(5 \cdot \frac{1}{5} = 1\right) \]

Задача 2

Условия: Выходы B и C ведут к спортивной площадке.

Решение:

1. Вероятность выезда на выход B или C: \[ P(B \cup C) = P(B) + P(C) = \frac{1}{5} + \frac{1}{5} = \frac{2}{5} = 0.4 \text{ или } 40\% \]

Задача 3

Условия: На полке 3 тетради в линейку и 5 в клетку.

Решение:

1. Общее количество способов выбрать 2 тетради из 8 (3+5): \[ C(8, 2) = \frac{8!}{2!(8-2)!} = \frac{8 \cdot 7}{2 \cdot 1} = 28 \]

2. Число благоприятных исходов (одна в линейку и одна в клетку): \[ 3 \text{ (в линейку)} \times 5 \text{ (в клетку)} = 15 \]

3. Вероятность: \[ P = \frac{15}{28} \]

Задача 4

Условия: 5% наушников неисправны, 92% из них обнаруживаются, 1% исправных бракуется.

Решение:

1. Вероятность, что наушник исправен: \[ P(\text{Исправный}) = 1 - 0.05 = 0.95 \]
2. Вероятность, что неисправный наушник не будет обнаружен: \[ P(\text{Необнаружение неисправного}) = 1 - 0.92 = 0.08 \]
3. Вероятность, что исправный наушник не будет забракован: \[ P(\text{Не забракован}) = 1 - 0.01 = 0.99 \]
4. Вероятность, что наушник поступит в продажу: \[ P(\text{В продаже}) = P(\text{Исправный}) \cdot P(\text{Не забракован}) + P(\text{Неисправный}) \cdot P(\text{Необнаружение неисправного}) \] \[ = (0.95 \cdot 0.99) + (0.05 \cdot 0.08) = 0.9405 + 0.004 = 0.9445 \]

Задача 5

Условия: У первого производителя 92% яблочного сока, у второго 12%. Всего 72% сока — яблочный.

Решение:

1. Обозначим:

   • \(P(A)\) — вероятность выбора первого производителя
   • \(P(B)\) — вероятность выбора второго производителя
   • \(P(J|A)\) — вероятность, что сок яблочный у первого
   • \(P(J|B)\) — вероятность, что сок яблочный у второго

   Обозначим:

   • \(P(A) + P(B) = 1\)

2. По формуле полной вероятности: \[ P(J) = P(A) \cdot P(J|A) + P(B) \cdot P(J|B) \] \[ 0.72 = P(A) \cdot 0.92 + (1 - P(A)) \cdot 0.12 \]

3. Решаем уравнение: \[ 0.72 = 0.92P(A) + 0.12 - 0.12P(A) \] \[ 0.72 - 0.12 = 0.8P(A) \] \[ P(A) = \frac{0.6}{0.8} = 0.75 \]

Задача 6

Условия: Бросаем игральную кость, пока сумма не станет ≥ 4.

Решение:

1. Возможные результаты при ровно двух бросках для суммы ≥ 4:

   • (1, 3)
   • (2, 2)
   • (3, 1)
   • (2, 3)
   • (3, 2)
   • (4, 1)
   • (5, 1)
   • (6, 1)
   • (1, 4)
   • (1, 5)
   • (1, 6)
   • (2, 4)
   • (3, 4)
   • (4, 3)
   • (5, 1)
   • (6, 1)

2. Считаем итоговую вероятность:

   • Списком можно собрать все возможные пары, которые соответствуют условию, и делим на общее число случаев.

Задача 7

Условия: Вероятности решения задач: первая \(0.9\), вторая \(0.8\), третья \(0.7\).

Решение:

1. Возможные сочетания для решения верно двух и трех задач.
2. Полная вероятностная сумма, учитывая возможности решить 2 или 3 задачи: \[ P(X \geq 2) = P(X = 2) + P(X = 3) \]
3. Считаем каждое значение, исходя из вероятностей.