1. Основанием прямоугольного параллелепипеда служит квадрат; диагональ параллелепипеда равна 3√6 см, а его измерения относятся как 3:3: 6. Найдите: а) измерения параллелепипеда;…
1. Основанием прямоугольного параллелепипеда служит квадрат; диагональ параллелепипеда равна 3√6 см, а его измерения относятся как 3:3: 6. Найдите: а) измерения параллелепипеда; б) синус угла между диагональю параллелепипеда и плоскостью его основания.
Чтобы решить эту задачу, давайте сделаем следующее:
Дано:
- Диагональ прямоугольного параллелепипеда \(d = 3\sqrt{6}\) см.
- Соотношение измерений (длина, ширина и высота) параллелепипеда: \(3:3:6\).
Шаг 1: Найдем измерения параллелепипеда
Обозначим:
- Длина \(a = 3k\),
- Ширина \(b = 3k\),
- Высота \(h = 6k\),
где \(k\) - некая положительная константа.
Теперь можно выразить диагональ параллелепипеда через его размерности. Формула для нахождения диагонали \(d\) прямоугольного параллелепипеда:
\[ d = \sqrt{a^2 + b^2 + h^2} \]
Подставим значения \(a\), \(b\) и \(h\):
\[ d = \sqrt{(3k)^2 + (3k)^2 + (6k)^2} \]
Упростим выражение:
\[ d = \sqrt{9k^2 + 9k^2 + 36k^2} = \sqrt{54k^2} = \sqrt{54} \cdot k = 3\sqrt{6} \cdot k \]
Так как у нас \(d = 3\sqrt{6}\) см, то можем приравнять:
\[ 3\sqrt{6} \cdot k = 3\sqrt{6} \]
Из этого равенства следует, что \(k = 1\).
Теперь можем узнать размеры параллелепипеда:
- \(a = 3k = 3 \cdot 1 = 3\) см,
- \(b = 3k = 3 \cdot 1 = 3\) см,
- \(h = 6k = 6 \cdot 1 = 6\) см.
Ответ (а): Измерения параллелепипеда: 3 см (длина), 3 см (ширина), 6 см (высота).
Шаг 2: Найдем синус угла между диагональю и плоскостью основания
Для нахождения синуса угла между диагональю и плоскостью основания нам нужно знать, какова высота (h) параллелепипеда и диагональ, проецируемая на плоскость основания.
- Найдем длину диагонали основания (квадрат со стороной 3 см):
\[ d_{\text{осн}} = \sqrt{a^2 + b^2} = \sqrt{(3)^2 + (3)^2} = \sqrt{9 + 9} = \sqrt{18} = 3\sqrt{2} \]
- Теперь полностью найдем синус угла \(\alpha\) между диагональю и плоскостью основания. Синус этого угла равен отношению высоты параллелепипеда к длине диагонали:
\[ \sin(\alpha) = \frac{h}{d} = \frac{6}{3\sqrt{6}} \]
Упростим это выражение:
\[ \sin(\alpha) = \frac{6}{3\sqrt{6}} = \frac{2}{\sqrt{6}} = \frac{2\sqrt{6}}{6} = \frac{\sqrt{6}}{3} \]
Ответ (б): Синус угла между диагональю параллелепипеда и плоскостью его основания: \(\frac{\sqrt{6}}{3}\).
Таким образом, мы нашли как измерения параллелепипеда, так и значение синуса угла, как требовалось.
