Чтобы найти стандартное отклонение случайной величины «число пирожков в одной покупке», нам нужно использовать формулы для математического ожидания и дисперсии.
Шаг 1: Определяем возможные значения и их вероятности
Наша случайная величина ( X ) может принимать следующие значения в зависимости от покупки:
- Если клиент покупает один пирожок: ( X = 1 ) с вероятностью ( P(X=1) = 0,55 )
- Если клиент покупает два пирожка: ( X = 2 ) с вероятностью ( P(X=2) = 0,25 )
- Если клиент покупает четыре пирожка: ( X = 4 ) с вероятностью ( P(X=4) = 0,20 )
Шаг 2: Вычисляем математическое ожидание ( E(X) )
Математическое ожидание ( E(X) ) находится по формуле:
[
E(X) = \sum (x_i \cdot P(x_i))
]
Подставляем наши значения:
[
E(X) = (1 \cdot 0,55) + (2 \cdot 0,25) + (4 \cdot 0,20)
]
Рассчитаем:
[
E(X) = 0,55 + 0,50 + 0,80 = 1,85
]
Шаг 3: Вычисляем дисперсию ( D(X) )
Дисперсия вычисляется по формуле:
[
D(X) = E(X^2) - (E(X))^2
]
Сначала найдем ( E(X^2) ):
[
E(X^2) = \sum (x_i^2 \cdot P(x_i))
]
Считаем ( E(X^2) ):
[
E(X^2) = (1^2 \cdot 0,55) + (2^2 \cdot 0,25) + (4^2 \cdot 0,20)
]
Рассчитаем:
[
E(X^2) = (1 \cdot 0,55) + (4 \cdot 0,25) + (16 \cdot 0,20)
]
[
E(X^2) = 0,55 + 1,00 + 3,20 = 4,75
]
Теперь можем найти дисперсию:
[
D(X) = 4,75 - (1,85)^2
]
[
D(X) = 4,75 - 3,4225 = 1,3275
]
Шаг 4: Найдем стандартное отклонение ( \sigma(X) )
Стандартное отклонение — это корень из дисперсии:
[
\sigma(X) = \sqrt{D(X)}
]
[
\sigma(X) = \sqrt{1,3275} \approx 1,1515
]
Шаг 5: Округляем до сотых
Окончательный результат:
[
\sigma(X) \approx 1,15
]
Таким образом, стандартное отклонение случайной величины «число пирожков в одной покупке» составляет 1,15.
