Для решения задачи о том, как изменилась температура разрежённого воздуха в цилиндрическом сосуде, используем закон Бойля-Мариотта и уравнение состояния идеального газа.
Дано:
- Объём сосуда ( V = 6 , \text{л} = 6 \times 10^{-3} , \text{м}^3 )
- Площадь сечения поршня ( S = 37 , \text{см}^2 = 37 \times 10^{-4} , \text{м}^2 )
- Масса объекта на поршне ( m = 6 , \text{кг} )
- Атмосферное давление ( P_0 = 0.1 , \text{МПа} = 10^5 , \text{Па} )
- Смещение поршня ( h = 11 , \text{см} = 0.11 , \text{м} )
Шаг 1: Вычисление силы тяжести
Сила, действующая на поршень от массы объекта, рассчитывается по формуле:
[
F = m \cdot g
]
где ( g ) — ускорение свободного падения (приблизительно ( 9.81 , \text{м/с}^2 )).
Подставляем значения:
[
F = 6 , \text{кг} \cdot 9.81 , \text{м/с}^2 = 58.86 , \text{Н}
]
Шаг 2: Вычисление давления, создаваемого объектом на поршне
Давление, создаваемое силой на поршне, можно найти так:
[
P_{\text{доп}} = \frac{F}{S}
]
Где ( S ) — площадь сечения поршня.
Подставляем значения:
[
P_{\text{доп}} = \frac{58.86 , \text{Н}}{37 \times 10^{-4} , \text{м}^2} = \frac{58.86}{0.0037} \approx 15919.73 , \text{Па} = 0.01592 , \text{МПа}
]
Шаг 3: Общая давление в сосуде
Теперь найдем общее давление в сосуде, складывая атмосферное давление и давление, возникающее из-за массы объекта:
[
P_{\text{общ}} = P_0 + P_{\text{доп}} = 0.1 , \text{МПа} + 0.01592 , \text{МПа} = 0.11592 , \text{МПа}
]
Шаг 4: Изменение объёма воздуха
Когда поршень смещается на 11 см, объём воздуха в сосуде изменяется. Изменение объёма можно выразить через площадь сечения и смещение поршня:
[
\Delta V = S \cdot h = 37 \times 10^{-4} , \text{м}^2 \cdot 0.11 , \text{м} = 0.00407 , \text{м}^3
]
Кажущаяся перемена объема будет конечной при наклоне к ситуации, но согласно задаче, объём остаётся постоянным (естественно, в реальной ситуации он изменяется с переменой высоты поршня).
Шаг 5: Применение уравнения состояния газа
При допустимых условиях: ( P_1 V_1 / T_1 = P_2 V_2 / T_2 ), где:
- ( P_1 ) и ( T_1 ) — начальное давление и температура,
- ( P_2 ) и ( T_2 ) — конечное давление и температура.
Считаем, что объём остаётся постоянным, тогда:
[
\frac{P_1}{T_1} = \frac{P_2}{T_2}
]
Отсюда, можем выразить изменение температуры:
[
T_2 = T_1 \cdot \frac{P_2}{P_1}
]
Шаг 6: Вычисление теплоты
При изменении давления от 0.1 МПа до 0.11592 МПа и известной начальной температуре ( T_1 ) (допустим, 273 К):
[
T_2 = 273 \cdot \frac{0.11592}{0.1} \approx 315.36 , \text{K}
]
Шаг 7: Ответ
Округляем до сотых:
[
T_2 \approx 315.36 , \text{K}
]
Таким образом, температура разрежённого воздуха в цилиндрическом сосуде увеличилась примерно на 42 K при добавлении массы на поршень.
