Для решения задачи сначала обозначим время, за которое выполняет задание второй комбайн. Пусть это время равно ( x ) часов. Тогда первый комбайн, который выполняет задание на 5 часов быстрее, выполнит его за ( x - 5 ) часов.
Теперь давайте найдем скорость работы каждого из комбайнов:
Скорость работы второго комбайна:
[
\text{Скорость второго комбайна} = \frac{1}{x} \quad \text{(часть задания, выполненная за 1 час)}
]
Скорость работы первого комбайна:
[
\text{Скорость первого комбайна} = \frac{1}{x - 5}
]
Теперь, когда оба комбайна работают вместе, их совместная скорость равна сумме их индивидуальных скоростей:
[
\frac{1}{x} + \frac{1}{x - 5}
]
По условию задачи, они могут выполнить задание совместно за 6 часов, что означает, что их общая скорость равна ( \frac{1}{6} ):
[
\frac{1}{x} + \frac{1}{x - 5} = \frac{1}{6}
]
Теперь решим это уравнение. Приведем дроби к общему знаменателю:
[
\frac{(x - 5) + x}{x(x - 5)} = \frac{1}{6}
]
[
\frac{2x - 5}{x(x - 5)} = \frac{1}{6}
]
Теперь крест-накрест умножим:
[
6(2x - 5) = x(x - 5)
]
Раскроем скобки:
[
12x - 30 = x^2 - 5x
]
Переносим все на одну сторону уравнения:
[
x^2 - 17x + 30 = 0
]
Решим это квадратное уравнение с помощью дискриминанта:
[
D = b^2 - 4ac = (-17)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 30 = 289 - 120 = 169
]
Корни уравнения находятся по формуле:
[
x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{17 \pm 13}{2}
]
Находим корни:
- ( x_1 = \frac{30}{2} = 15 )
- ( x_2 = \frac{4}{2} = 2 )
Так как ( x ) — это время, за которое работает второй комбайн, и оно должно быть больше 5 (иначе у первого комбайна получится отрицательное время), принимаем только корень ( x = 15 ).
Теперь находим время выполнения задания первым комбайном:
[
x - 5 = 15 - 5 = 10
]
Итак, первый комбайн может выполнить задание за 10 часов, работая один.
