Антон, Артём и Вера вместе решили 100 задач по математике. Назовём задачу трудной, если её решил только один человек, и лёгкой, если её решили все трое. На сколько лёгких задач…

Для решения задачи о трудных и лёгких задачах, давайте обозначим:

• \( x \) — количество трудных задач (которые решили только один человек),
• \( y \) — количество лёгких задач (которые решили все трое).

Мы знаем, что Антон, Артём и Вера вместе решили \( 100 \) задач и каждый из них решил в одиночку \( a \) задач. В каждой ситуации, чтобы найти соотношение между лёгкими и трудными задачами, будет полезно использовать правило включения-исключения.

1. Общее количество задач: \[ x + y = 100 \]

2. Суммарное количество решённых задач (если учесть, что трудные задачи решались только одним человеком, а лёгкие — всеми тремя):

   • Если у нас есть \( x \) трудных задач, то они вносят в общее количество решённых задач \( x \).
   • Каждая лёгкая задача добавляет \( 3y \) (так как три человека решили каждую лёгкую задачу).

Таким образом, общее количество решённых задач можно выразить как: \[ x + 3y \]

Это количество задач должно быть равно общему количеству задач, которое трое человек решили в одиночку: \[ x + 3y = 3a \] где \( a \) — количество задач, решённых каждым индивидуально.

Теперь у нас есть две системы уравнений:

1. \( x + y = 100 \)
2. \( x + 3y = 3a \)

Давайте рассмотрим каждую ситуацию отдельно.

Ситуация (а): \( a = 62 \)

Подставим \( a \) в второе уравнение: \[ x + 3y = 186 \]

Теперь у нас есть система:

1. \( x + y = 100 \)
2. \( x + 3y = 186 \)

Вычтем первое уравнение из второго: \[ (x + 3y) - (x + y) = 186 - 100 \] \[ 2y = 86 \implies y = 43 \]

Теперь, подставим \( y \) обратно в первое уравнение: \[ x + 43 = 100 \implies x = 57 \]

Теперь мы можем найти разницу между количеством лёгких и трудных задач: \[ y - x = 43 - 57 = -14 \] Таким образом, трудных задач больше на 14.

Ситуация (б): \( a = 40 \)

Подставим \( a \) в второе уравнение: \[ x + 3y = 120 \]

Теперь у нас есть система:

1. \( x + y = 100 \)
2. \( x + 3y = 120 \)

Вычтем первое уравнение из второго: \[ (x + 3y) - (x + y) = 120 - 100 \] \[ 2y = 20 \implies y = 10 \]

Теперь подставим \( y \) обратно в первое уравнение: \[ x + 10 = 100 \implies x = 90 \]

Теперь находим разницу между количеством лёгких и трудных задач: \[ y - x = 10 - 90 = -80 \] Таким образом, трудных задач больше на 80.

Итог:

• а) В случае 62 задач: трудных задач на 14 больше.
• б) В случае 40 задач: трудных задач на 80 больше.