Антон, Артём и Вера вместе решили 100 задач по математике. Назовём задачу трудной, если её решил только один человек, и лёгкой, если её решили все трое. На сколько лёгких задач боль- ше, чем трудных, если известно, что каждый в одиночку решил ровно: а) 62 задачи; б) 40 задач?

Для решения задачи о трудных и лёгких задачах, давайте обозначим: - \( x \) — количество трудных задач (которые решили только один человек), - \( y \) — количество лёгких задач (которые решили все трое). Мы знаем, что Антон, Артём и Вера вместе решили \( 100 \) задач и каждый из них решил в одиночку \( a \) задач. В каждой ситуации, чтобы найти соотношение между лёгкими и трудными задачами, будет полезно использовать правило включения-исключения. 1. **Общее количество задач:** \[ x + y = 100 \] 2. **Суммарное количество решённых задач (если учесть, что трудные задачи решались только одним человеком, а лёгкие — всеми тремя):** - Если у нас есть \( x \) трудных задач, то они вносят в общее количество решённых задач \( x \). - Каждая лёгкая задача добавляет \( 3y \) (так как три человека решили каждую лёгкую задачу). Таким образом, общее количество решённых задач можно выразить как: \[ x + 3y \] Это количество задач должно быть равно общему количеству задач, которое трое человек решили в одиночку: \[ x + 3y = 3a \] где \( a \) — количество задач, решённых каждым индивидуально. Теперь у нас есть две системы уравнений: 1. \( x + y = 100 \) 2. \( x + 3y = 3a \) Давайте рассмотрим каждую ситуацию отдельно. ### Ситуация (а): \( a = 62 \) Подставим \( a \) в второе уравнение: \[ x + 3y = 186 \] Теперь у нас есть система: 1. \( x + y = 100 \) 2. \( x + 3y = 186 \) Вычтем первое уравнение из второго: \[ (x + 3y) - (x + y) = 186 - 100 \] \[ 2y = 86 \implies y = 43 \] Теперь, подставим \( y \) обратно в первое уравнение: \[ x + 43 = 100 \implies x = 57 \] Теперь мы можем найти разницу между количеством лёгких и трудных задач: \[ y - x = 43 - 57 = -14 \] Таким образом, трудных задач больше на 14. ### Ситуация (б): \( a = 40 \) Подставим \( a \) в второе уравнение: \[ x + 3y = 120 \] Теперь у нас есть система: 1. \( x + y = 100 \) 2. \( x + 3y = 120 \) Вычтем первое уравнение из второго: \[ (x + 3y) - (x + y) = 120 - 100 \] \[ 2y = 20 \implies y = 10 \] Теперь подставим \( y \) обратно в первое уравнение: \[ x + 10 = 100 \implies x = 90 \] Теперь находим разницу между количеством лёгких и трудных задач: \[ y - x = 10 - 90 = -80 \] Таким образом, трудных задач больше на 80. ### Итог: - а) В случае 62 задач: трудных задач на 14 больше. - б) В случае 40 задач: трудных задач на 80 больше.