В окружность радиуса 6 вписан квадрат .середины его сторон соединены.найдите периметр получившегося четырёхугольника

Чтобы решить задачу, давайте внимательно разберем её шаг за шагом. 1. **Определим фигуры.** - Имеется окружность радиусом 6. - В неё вписан квадрат. Это значит, что квадрат касается окружности во всех четырёх своих вершинах. 2. **Найдём сторону квадрата.** - Поскольку квадрат вписан в окружность, его диагональ равна диаметру окружности. - Диаметр окружности можно вычислить по формуле: \( D = 2R \), где \( R \) — радиус окружности. - В нашем случае: \( D = 2 \times 6 = 12 \). - Диагональ квадрата \( d = a\sqrt{2} \), где \( a \) — длина стороны квадрата. - Таким образом, имеем уравнение: \( a\sqrt{2} = 12 \). - Из этого уравнения можем выразить сторону квадрата: \[ a = \frac{12}{\sqrt{2}} = 12 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = 6\sqrt{2}. \] 3. **Найдём координаты середины сторон квадрата.** - Пусть квадрат будет расположен так, что его вершины находятся в точках: - \( A(6, 6) \) - \( B(-6, 6) \) - \( C(-6, -6) \) - \( D(6, -6) \) - Середины (M1, M2, M3, M4) будут следующими: - \( M1 \) (середина AB) = \(\left(\frac{6 + (-6)}{2}, \frac{6 + 6}{2}\right) = (0, 6)\) - \( M2 \) (середина BC) = \(\left(\frac{-6 + (-6)}{2}, \frac{6 + (-6)}{2}\right) = (-6, 0)\) - \( M3 \) (середина CD) = \(\left(\frac{-6 + 6}{2}, \frac{-6 + (-6)}{2}\right) = (0, -6)\) - \( M4 \) (середина DA) = \(\left(\frac{6 + 6}{2}, \frac{-6 + 6}{2}\right) = (6, 0)\) 4. **Теперь соединим эти середины в новый четырёхугольник.** - Точки нового четырёхугольника: \( M1(0, 6), M2(-6, 0), M3(0, -6), M4(6, 0) \). 5. **Вычислим длину сторон нового четырёхугольника.** - Длина между \( M1 \) и \( M2 \): \[ d_{M1M2} = \sqrt{(0 - (-6))^2 + (6 - 0)^2} = \sqrt{6^2 + 6^2} = \sqrt{36 + 36} = \sqrt{72} = 6\sqrt{2}. \] - Длина между \( M2 \) и \( M3 \): \[ d_{M2M3} = \sqrt{(-6 - 0)^2 + (0 - (-6))^2} = \sqrt{(-6)^2 + 6^2} = \sqrt{36 + 36} = \sqrt{72} = 6\sqrt{2}. \] - Длина между \( M3 \) и \( M4 \): \[ d_{M3M4} = \sqrt{(0 - 6)^2 + (-6 - 0)^2} = \sqrt{(-6)^2 + (-6)^2} = \sqrt{36 + 36} = \sqrt{72} = 6\sqrt{2}. \] - Длина между \( M4 \) и \( M1 \): \[ d_{M4M1} = \sqrt{(6 - 0)^2 + (0 - 6)^2} = \sqrt{(6)^2 + (-6)^2} = \sqrt{36 + 36} = \sqrt{72} = 6\sqrt{2}. \] 6. **Посчитаем периметр нового четырёхугольника.** - Периметр \( P = d_{M1M2} + d_{M2M3} + d_{M3M4} + d_{M4M1} \): \[ P = 6\sqrt{2} + 6\sqrt{2} + 6\sqrt{2} + 6\sqrt{2} = 4 \times 6\sqrt{2} = 24\sqrt{2}. \] Итак, периметр получившегося четырёхугольника равен \( 24\sqrt{2} \).