в окружность радиуса 6 вписан квадрат .середины его сторон соединены.найдите периметр получившегося четырёхугольника

Чтобы решить задачу, давайте внимательно разберем её шаг за шагом.

1. Определим фигуры.

   • Имеется окружность радиусом 6.
   • В неё вписан квадрат. Это значит, что квадрат касается окружности во всех четырёх своих вершинах.

2. Найдём сторону квадрата.

   • Поскольку квадрат вписан в окружность, его диагональ равна диаметру окружности.
   • Диаметр окружности можно вычислить по формуле: \( D = 2R \), где \( R \) — радиус окружности.
   • В нашем случае: \( D = 2 \times 6 = 12 \).
   • Диагональ квадрата \( d = a\sqrt{2} \), где \( a \) — длина стороны квадрата.
   • Таким образом, имеем уравнение: \( a\sqrt{2} = 12 \).
   • Из этого уравнения можем выразить сторону квадрата: \[ a = \frac{12}{\sqrt{2}} = 12 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = 6\sqrt{2}. \]

3. Найдём координаты середины сторон квадрата.

   • Пусть квадрат будет расположен так, что его вершины находятся в точках:

     • \( A(6, 6) \)
     • \( B(-6, 6) \)
     • \( C(-6, -6) \)
     • \( D(6, -6) \)

   • Середины (M1, M2, M3, M4) будут следующими:

     • \( M1 \) (середина AB) = \(\left(\frac{6 + (-6)}{2}, \frac{6 + 6}{2}\right) = (0, 6)\)
     • \( M2 \) (середина BC) = \(\left(\frac{-6 + (-6)}{2}, \frac{6 + (-6)}{2}\right) = (-6, 0)\)
     • \( M3 \) (середина CD) = \(\left(\frac{-6 + 6}{2}, \frac{-6 + (-6)}{2}\right) = (0, -6)\)
     • \( M4 \) (середина DA) = \(\left(\frac{6 + 6}{2}, \frac{-6 + 6}{2}\right) = (6, 0)\)

4. Теперь соединим эти середины в новый четырёхугольник.

   • Точки нового четырёхугольника: \( M1(0, 6), M2(-6, 0), M3(0, -6), M4(6, 0) \).

5. Вычислим длину сторон нового четырёхугольника.

   • Длина между \( M1 \) и \( M2 \): \[ d_{M1M2} = \sqrt{(0 - (-6))^2 + (6 - 0)^2} = \sqrt{6^2 + 6^2} = \sqrt{36 + 36} = \sqrt{72} = 6\sqrt{2}. \]
   • Длина между \( M2 \) и \( M3 \): \[ d_{M2M3} = \sqrt{(-6 - 0)^2 + (0 - (-6))^2} = \sqrt{(-6)^2 + 6^2} = \sqrt{36 + 36} = \sqrt{72} = 6\sqrt{2}. \]
   • Длина между \( M3 \) и \( M4 \): \[ d_{M3M4} = \sqrt{(0 - 6)^2 + (-6 - 0)^2} = \sqrt{(-6)^2 + (-6)^2} = \sqrt{36 + 36} = \sqrt{72} = 6\sqrt{2}. \]
   • Длина между \( M4 \) и \( M1 \): \[ d_{M4M1} = \sqrt{(6 - 0)^2 + (0 - 6)^2} = \sqrt{(6)^2 + (-6)^2} = \sqrt{36 + 36} = \sqrt{72} = 6\sqrt{2}. \]

6. Посчитаем периметр нового четырёхугольника.

   • Периметр \( P = d_{M1M2} + d_{M2M3} + d_{M3M4} + d_{M4M1} \): \[ P = 6\sqrt{2} + 6\sqrt{2} + 6\sqrt{2} + 6\sqrt{2} = 4 \times 6\sqrt{2} = 24\sqrt{2}. \]

Итак, периметр получившегося четырёхугольника равен \( 24\sqrt{2} \).