Высота цилиндра равна 10 см Площадь сечения плоскостью параллельной оси цилиндра и находящейся на расстоянии см от нее равна 160 см? Вычислите площадь полной поверхности цилиндра
Для начала давайте вспомним формулы, которые нам понадобятся для решения задачи.
Площадь сечения: Если высота цилиндра \( h \) равна 10 см, а площадь сечения, которая параллельна основанию цилиндра, равна 160 см², это указывает на то, что радиус основания \( R \) можно найти, используя формулу площади круга: \[ S = \pi R^2 \] Отсюда, если \( S = 160 \) см²: \[ 160 = \pi R^2 \] Таким образом, радиус можно найти как: \[ R = \sqrt{\frac{160}{\pi}}. \]
Площадь полной поверхности цилиндра: Площадь полной поверхности \( S_{\text{total}} \) цилиндра вычисляется по формуле: \[ S_{\text{total}} = 2\pi R^2 + 2\pi R h, \] где \( 2\pi R^2 \) — это площадь двух оснований, а \( 2\pi R h \) — боковая поверхность.
Теперь подставим радиус и высоту в формулу для площади полной поверхности.
Вычислим радиус: \[ R = \sqrt{\frac{160}{\pi}}. \]
Затем подставим радиус \( R \) и высоту \( h = 10 \) см в формулу для площади полной поверхности: \[ S_{\text{total}} = 2\pi \left(\sqrt{\frac{160}{\pi}}\right)^2 + 2\pi \left(\sqrt{\frac{160}{\pi}}\right) \cdot 10. \] Упростим: \[ S_{\text{total}} = 2\pi \cdot \frac{160}{\pi} + 2\pi \cdot \sqrt{\frac{160}{\pi}} \cdot 10. \] Значит, \[ S_{\text{total}} = 320 + 20\sqrt{160\pi} \cdot \frac{1}{\sqrt{\pi}}. \] Это можно упростить: \[ S_{\text{total}} = 320 + 20 \cdot \sqrt{160\pi}. \] Считаем \( \sqrt{160} = 4\sqrt{10} \): \[ S_{\text{total}} = 320 + 80\sqrt{10}. \]
Теперь подставим числовые значения: \[ 80\sqrt{10} \approx 80 \cdot 3.16 \approx 252.8. \] Таким образом, подставим в окончательную формулу: \[ S_{\text{total}} \approx 320 + 252.8 = 572.8 \text{ см}^2. \]
Таким образом, площадь полной поверхности цилиндра составляет примерно 572.8 см².
