.
Для решения задачи нужно рассмотреть каждую систему уравнений отдельно и выяснить, существуют ли у них общие решения, то есть точки пересечения графиков данных функций.
Система (а)
Уравнения:
- \( y = x^3 \)
- \( xy = -12 \) или \( y = \frac{-12}{x} \)
Графики:
- График функции \( y = x^3 \) — это кубическая парабола.
- График функции \( y = \frac{-12}{x} \) — это гипербола.
Решение:
Найдем точки пересечения: приравняем выражения для \( y \): \[ x^3 = \frac{-12}{x} \]
Умножим обе стороны уравнения на \( x \) (при \( x \neq 0 \)): \[ x^4 = -12 \]
Это уравнение не имеет действительных решений, так как \( x^4 \) всегда неотрицательно, а -12 — отрицательно число.
Ответ: Решений нет.
Система (б)
Уравнения:
- \( y = x^2 + 8 \)
- \( y = -x^2 + 12 \)
Графики:
- График функции \( y = x^2 + 8 \) — это парабола, открытая вверх и сдвинутая на 8 единиц вверх.
- График функции \( y = -x^2 + 12 \) — это парабола, открытая вниз и сдвинутая на 12 единиц вверх.
Решение:
Приравняем \( y \): \[ x^2 + 8 = -x^2 + 12 \]
Решим уравнение: \[ 2x^2 = 4 \] \[ x^2 = 2 \]
Решение: \[ x = \sqrt{2} \quad \text{или} \quad x = -\sqrt{2} \]
Подставим в одно из уравнений для нахождения \( y \): \[ y = (\sqrt{2})^2 + 8 = 2 + 8 = 10 \] \[ y = (-\sqrt{2})^2 + 8 = 2 + 8 = 10 \]
Ответ: Решения: \( (\sqrt{2}, 10) \) и \( (-\sqrt{2}, 10) \).
Система (в)
Уравнения:
- \( y = x^2 + 1 \)
- \( xy = 3 \) или \( y = \frac{3}{x} \)
Графики:
- График функции \( y = x^2 + 1 \) — это парабола, открытая вверх и сдвинутая на 1 единицу вверх.
- График функции \( y = \frac{3}{x} \) — это гипербола.
Решение:
Найдем точки пересечения: приравняем выражения для \( y \): \[ x^2 + 1 = \frac{3}{x} \]
Умножим обе стороны на \( x \) (при \( x \neq 0 \)): \[ x^3 + x = 3 \]
Перенесем все в левую часть: \[ x^3 + x - 3 = 0 \]
Подбор корня (методом проб): \[ x = 1 \implies 1^3 + 1 - 3 = 0 \]
Нашли корень \( x = 1 \), найдем \( y \): \[ y = 1^2 + 1 = 2 \]
Исследуем дробь: в случае \( x = -1 \): \[ (-1)^3 + (-1) - 3 = -1 - 1 - 3 = -5 \neq 0 \]
Ответ: Единственное решение: \( (1, 2) \).
