Трехзначное число, сложили с числом, записанным теми же цифрами, но в обратном порядке. В сумме получилось число 685. Найдите сумму цифр исходного числа.

Чтобы решить задачу, давайте обозначим трехзначное число как \( xyz \), где \( x \), \( y \) и \( z \) – это цифры числа, а \( x \) – сотни, \( y \) – десятки, и \( z \) – единицы. В числовом формате это будет записано как:

\[ 100x + 10y + z \]

Теперь число с цифрами в обратном порядке можно записать как \( zyx \), что в числовом формате будет:

\[ 100z + 10y + x \]

Согласно условию задачи, сумма этих двух чисел равна 685:

\[ (100x + 10y + z) + (100z + 10y + x) = 685 \]

Объединим подобные слагаемые:

\[ 101x + 20y + 101z = 685 \]

Так как \( 101x + 101z = 101(x + z) \), упростим уравнение:

\[ 101(x + z) + 20y = 685 \]

Теперь вычтем \( 20y \) из обеих сторон:

\[ 101(x + z) = 685 - 20y \]

\( 685 - 20y \) должно быть кратно 101, так как \( 101(x + z) \) обязательно делится на 101. Давайте подберем возможные значения для \( y \), чтобы \( 685 - 20y \) было кратно 101.

Теперь найдем, каковы значения \( 20y \) при \( y = 0, 1, 2, ..., 9 \):

• При \( y = 0: 685 - 20 \cdot 0 = 685\) (не делится на 101)
• При \( y = 1: 685 - 20 \cdot 1 = 665\) (не делится на 101)
• При \( y = 2: 685 - 20 \cdot 2 = 645\) (не делится на 101)
• При \( y = 3: 685 - 20 \cdot 3 = 625\) (не делится на 101)
• При \( y = 4: 685 - 20 \cdot 4 = 605\) (не делится на 101)
• При \( y = 5: 685 - 20 \cdot 5 = 585\) (не делится на 101)
• При \( y = 6: 685 - 20 \cdot 6 = 565\) (делится на 101)
• При \( y = 7: 685 - 20 \cdot 7 = 545\) (не делится на 101)
• При \( y = 8: 685 - 20 \cdot 8 = 525\) (не делится на 101)
• При \( y = 9: 685 - 20 \cdot 9 = 505\) (не делится на 101)

Получается, что подходящее значение \( y = 6 \).

Подставим это значение в уравнение:

\[ 101(x + z) = 685 - 20 \cdot 6 = 685 - 120 = 565 \]

Теперь делим обе стороны на 101:

\[ x + z = \frac{565}{101} = 5 \]

Теперь у нас есть \( x + z = 5 \) и \( y = 6 \).

Чтобы найти конкретные значения \( x \) и \( z \), заметим, что так как это трехзначное число, \( x \) не может быть равным 0. Возможные пары \( (x, z) \), где \( x + z = 5 \), могут быть:

1. \( (1, 4) \)
2. \( (2, 3) \)
3. \( (3, 2) \)
4. \( (4, 1) \)
5. \( (5, 0) \) (но не подходит, так как \( x \) не может быть 0)

То есть возможные трехзначные числа – это 164, 263, 362 и 461.

Теперь мы находим сумму цифр. Для любого из этих чисел:

1. Для \( 164: 1 + 6 + 4 = 11 \)
2. Для \( 263: 2 + 6 + 3 = 11 \)
3. Для \( 362: 3 + 6 + 2 = 11 \)
4. Для \( 461: 4 + 6 + 1 = 11 \)

Таким образом, сумма цифр исходного числа равна:

\[ \boxed{11} \]