Трехзначное число, сложили с числом, записанным теми же цифрами, но в обратном порядке. В сумме получилось число 685. Найдите сумму цифр исходного числа.

Чтобы решить задачу, давайте обозначим трехзначное число как \( xyz \), где \( x \), \( y \) и \( z \) – это цифры числа, а \( x \) – сотни, \( y \) – десятки, и \( z \) – единицы. В числовом формате это будет записано как: \[ 100x + 10y + z \] Теперь число с цифрами в обратном порядке можно записать как \( zyx \), что в числовом формате будет: \[ 100z + 10y + x \] Согласно условию задачи, сумма этих двух чисел равна 685: \[ (100x + 10y + z) + (100z + 10y + x) = 685 \] Объединим подобные слагаемые: \[ 101x + 20y + 101z = 685 \] Так как \( 101x + 101z = 101(x + z) \), упростим уравнение: \[ 101(x + z) + 20y = 685 \] Теперь вычтем \( 20y \) из обеих сторон: \[ 101(x + z) = 685 - 20y \] \( 685 - 20y \) должно быть кратно 101, так как \( 101(x + z) \) обязательно делится на 101. Давайте подберем возможные значения для \( y \), чтобы \( 685 - 20y \) было кратно 101. Теперь найдем, каковы значения \( 20y \) при \( y = 0, 1, 2, ..., 9 \): - При \( y = 0: 685 - 20 \cdot 0 = 685\) (не делится на 101) - При \( y = 1: 685 - 20 \cdot 1 = 665\) (не делится на 101) - При \( y = 2: 685 - 20 \cdot 2 = 645\) (не делится на 101) - При \( y = 3: 685 - 20 \cdot 3 = 625\) (не делится на 101) - При \( y = 4: 685 - 20 \cdot 4 = 605\) (не делится на 101) - При \( y = 5: 685 - 20 \cdot 5 = 585\) (не делится на 101) - При \( y = 6: 685 - 20 \cdot 6 = 565\) (делится на 101) - При \( y = 7: 685 - 20 \cdot 7 = 545\) (не делится на 101) - При \( y = 8: 685 - 20 \cdot 8 = 525\) (не делится на 101) - При \( y = 9: 685 - 20 \cdot 9 = 505\) (не делится на 101) Получается, что подходящее значение \( y = 6 \). Подставим это значение в уравнение: \[ 101(x + z) = 685 - 20 \cdot 6 = 685 - 120 = 565 \] Теперь делим обе стороны на 101: \[ x + z = \frac{565}{101} = 5 \] Теперь у нас есть \( x + z = 5 \) и \( y = 6 \). Чтобы найти конкретные значения \( x \) и \( z \), заметим, что так как это трехзначное число, \( x \) не может быть равным 0. Возможные пары \( (x, z) \), где \( x + z = 5 \), могут быть: 1. \( (1, 4) \) 2. \( (2, 3) \) 3. \( (3, 2) \) 4. \( (4, 1) \) 5. \( (5, 0) \) (но не подходит, так как \( x \) не может быть 0) То есть возможные трехзначные числа – это 164, 263, 362 и 461. Теперь мы находим сумму цифр. Для любого из этих чисел: 1. Для \( 164: 1 + 6 + 4 = 11 \) 2. Для \( 263: 2 + 6 + 3 = 11 \) 3. Для \( 362: 3 + 6 + 2 = 11 \) 4. Для \( 461: 4 + 6 + 1 = 11 \) Таким образом, сумма цифр исходного числа равна: \[ \boxed{11} \]