Дан параллелограмм M N K L MNKL . Q Q — точка пересечения диагоналей. Вырази Q M → QM ​ через векторы N K → NK и N M → NM .

Чтобы выразить вектор \( \overrightarrow{QM} \) через векторы \( \overrightarrow{NK} \) и \( \overrightarrow{NM} \) в параллелограмме \( MNKL \), давай, во-первых, запомним некоторые свойства параллелограмма.

1. В параллелограмме диагонали пересекаются в точке, которая делит каждую диагональ пополам. Это значит, что: \[ \overrightarrow{Q} = \frac{\overrightarrow{M} + \overrightarrow{K}}{2} = \frac{\overrightarrow{N} + \overrightarrow{L}}{2} \] где \( Q \) — точка пересечения диагоналей.

2. Теперь мы можем выразить \( \overrightarrow{M} \) и \( \overrightarrow{K} \) в других векторах. Поскольку \( MNKL \) — это параллелограмм, у нас есть следующие равенства: \[ \overrightarrow{K} = \overrightarrow{N} + \overrightarrow{NK} \] \[ \overrightarrow{L} = \overrightarrow{M} + \overrightarrow{NM} \]

3. Подставим \( \overrightarrow{K} \) в уравнение для точки \( Q \): \[ \overrightarrow{Q} = \frac{\overrightarrow{M} + \left(\overrightarrow{N} + \overrightarrow{NK}\right)}{2} \] Это можно упростить: \[ \overrightarrow{Q} = \frac{\overrightarrow{M} + \overrightarrow{N} + \overrightarrow{NK}}{2} \]

4. Теперь выразим вектор \( \overrightarrow{QM} \): \[ \overrightarrow{QM} = \overrightarrow{M} - \overrightarrow{Q} \]

5. Подставляя у нас уже имеющееся значение для \( \overrightarrow{Q} \), получаем: \[ \overrightarrow{QM} = \overrightarrow{M} - \frac{\overrightarrow{M} + \overrightarrow{N} + \overrightarrow{NK}}{2} \]

6. Теперь привели подобные: \[ = \overrightarrow{M} - \frac{1}{2} \overrightarrow{M} - \frac{1}{2} \overrightarrow{N} - \frac{1}{2} \overrightarrow{NK} \] \[ = \frac{1}{2} \overrightarrow{M} - \frac{1}{2} \overrightarrow{N} - \frac{1}{2} \overrightarrow{NK} \]

7. С учетом того, что \( \overrightarrow{NM} = \overrightarrow{M} - \overrightarrow{N} \): \[ \overrightarrow{QM} = \frac{1}{2} \left( \overrightarrow{NM} - \overrightarrow{NK} \right) \]

Таким образом, вектор \( \overrightarrow{QM} \) можно выразить через векторы \( \overrightarrow{NK} \) и \( \overrightarrow{NM} \): \[ \overrightarrow{QM} = \frac{1}{2} \left( \overrightarrow{NM} - \overrightarrow{NK} \right) \]

Это решение показывает, как можно использовать свойства параллелограмма и векторную алгебру для нахождения необходимых выражений. Надеюсь, это помогает вам понять, как работать с векторами в фигурах!