Основания прямоугольной трапеции равны 5 5 и 13 13 . Угол между боковой стороной и одним из оснований равен 13 5 ∘ 135 ∘ . Найди площадь трапеции.
Для начала давайте разберем, что такое прямоугольная трапеция. Это трапеция, у которой один из углов между боковой стороной и основанием равен 90 градусов. Однако в нашем случае угол задан равным 135 градусам, что означает, что боковая сторона будет наклонённой.
Дано:
- Два основания прямоугольной трапеции: \( a = 5 \) и \( b = 13 \)
- Угол между боковой стороной и основанием: \( \alpha = 135^\circ \)
Площадь трапеции
Формула для вычисления площади \( S \) прямоугольной трапеции выглядит следующим образом:
\[ S = \frac{(a + b) \cdot h}{2} \]
где \( h \) — высота трапеции.
Вычислим высоту трапеции
В нашем случае, чтобы найти высоту \( h \), можно использовать связь между сторонами и углом. Из треугольника, образованного высотой, основанием и боковой стороной, получается следующее:
- Определяем высоту через угол: Если боковая сторона наклонена под углом \( 135^\circ \), тогда угол \( \beta \) между высотой и боковой стороной можно найти как:
\[ \beta = 180^\circ - 135^\circ = 45^\circ \]
- При помощи синуса находим высоту: Опустим перпендикуляр (высоту) из верхней базы (длиной \( a \)) к нижней базе (длиной \( b \)). В этом случае:
\[ h = BC = AB \cdot \sin(45^\circ) \]
где \( AB \) — это длина боковой стороны.
- Находим боковую сторону: Используя свойства треугольника, можно установить:
\[ AB = \frac{b - a}{\cos(135^\circ)} = \frac{13 - 5}{\cos(135^\circ)} \] Так как \(\cos(135^\circ) = -\frac{1}{\sqrt{2}}\):
\[ AB = \frac{8}{-\frac{1}{\sqrt{2}}} = -8 \cdot \sqrt{2} \]
Теперь подставим значение в выражение для высоты:
\[ h = -8\sqrt{2} \cdot \sin(45^\circ) = -8\sqrt{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = -8 \]
Площадь трапеции
Подставим значения в формулу площади:
\[ S = \frac{(5 + 13) \cdot 8}{2} = \frac{18 \cdot 8}{2} = 72 \]
Но так как высота была рассчитана по абсолютному значению, мы можем вывести окончательный результат:
\[ S = 72 \]
Таким образом, площадь прямоугольной трапеции равна 72 квадратных единиц.
