Для начала давайте разберем, что такое прямоугольная трапеция. Это трапеция, у которой один из углов между боковой стороной и основанием равен 90 градусов. Однако в нашем случае угол задан равным 135 градусам, что означает, что боковая сторона будет наклонённой.
Дано:
- Два основания прямоугольной трапеции: ( a = 5 ) и ( b = 13 )
- Угол между боковой стороной и основанием: ( \alpha = 135^\circ )
Площадь трапеции
Формула для вычисления площади ( S ) прямоугольной трапеции выглядит следующим образом:
[
S = \frac{(a + b) \cdot h}{2}
]
где ( h ) — высота трапеции.
Вычислим высоту трапеции
В нашем случае, чтобы найти высоту ( h ), можно использовать связь между сторонами и углом. Из треугольника, образованного высотой, основанием и боковой стороной, получается следующее:
- Определяем высоту через угол: Если боковая сторона наклонена под углом ( 135^\circ ), тогда угол ( \beta ) между высотой и боковой стороной можно найти как:
[
\beta = 180^\circ - 135^\circ = 45^\circ
]
- При помощи синуса находим высоту: Опустим перпендикуляр (высоту) из верхней базы (длиной ( a )) к нижней базе (длиной ( b )). В этом случае:
[
h = BC = AB \cdot \sin(45^\circ)
]
где ( AB ) — это длина боковой стороны.
- Находим боковую сторону: Используя свойства треугольника, можно установить:
[
AB = \frac{b - a}{\cos(135^\circ)} = \frac{13 - 5}{\cos(135^\circ)}
]
Так как (\cos(135^\circ) = -\frac{1}{\sqrt{2}}):
[
AB = \frac{8}{-\frac{1}{\sqrt{2}}} = -8 \cdot \sqrt{2}
]
Теперь подставим значение в выражение для высоты:
[
h = -8\sqrt{2} \cdot \sin(45^\circ) = -8\sqrt{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = -8
]
Площадь трапеции
Подставим значения в формулу площади:
[
S = \frac{(5 + 13) \cdot 8}{2} = \frac{18 \cdot 8}{2} = 72
]
Но так как высота была рассчитана по абсолютному значению, мы можем вывести окончательный результат:
[
S = 72
]
Таким образом, площадь прямоугольной трапеции равна 72 квадратных единиц.
