Найди сумму первых восемнадцати членов арифметической прогрессии, если a 10 = − 5 , 3 a 10 =−5,3 и a 22 = 17 , 5 a 22 =17,5 .
Чтобы найти сумму первых восемнадцати членов арифметической прогрессии, сначала нам нужно определить первый член этой прогрессии и её разность.
Дано:
- \( a_{10} = -5.3 \)
- \( a_{22} = 17.5 \)
Шаг 1: Найдем разность прогрессии
Формула для n-го члена арифметической прогрессии звучит следующим образом:
\[ a_n = a_1 + (n - 1) \cdot d \]
где:
- \( a_n \) — n-й член прогрессии,
- \( a_1 \) — первый член прогрессии,
- \( d \) — разность прогрессии (постоянное увеличение между членами),
- \( n \) — номер члена в последовательности.
Для \( n = 10 \) и \( n = 22 \):
- Для \( a_{10} \): \[ a_{10} = a_1 + 9d \quad (1) \]
- Для \( a_{22} \): \[ a_{22} = a_1 + 21d \quad (2) \]
Теперь мы можем подставить известные значения:
\[ -5.3 = a_1 + 9d \quad (1) \] \[ 17.5 = a_1 + 21d \quad (2) \]
Шаг 2: Выразим \( a_1 \) через \( d \)
Теперь вычтем уравнение (1) из уравнения (2):
\[ 17.5 - (-5.3) = (a_1 + 21d) - (a_1 + 9d) \] \[ 17.5 + 5.3 = 21d - 9d \] \[ 22.8 = 12d \]
Теперь найдем \( d \): \[ d = \frac{22.8}{12} = 1.9 \]
Шаг 3: Найдем \( a_1 \)
Подставим значение \( d \) в одно из уравнений, например, в (1): \[ -5.3 = a_1 + 9 \cdot 1.9 \] \[ -5.3 = a_1 + 17.1 \] \[ a_1 = -5.3 - 17.1 = -22.4 \]
Теперь у нас есть первый член прогрессии:
- \( a_1 = -22.4 \)
- \( d = 1.9 \)
Шаг 4: Найдем сумму первых 18 членов
Сумма первых n членов арифметической прогрессии вычисляется по формуле:
\[ S_n = \frac{n}{2} \cdot (2a_1 + (n - 1)d) \]
Где:
- \( S_n \) — сумма первых n членов,
- \( n \) — количество членов,
- \( a_1 \) — первый член,
- \( d \) — разность.
Подставляем наши значения для \( n = 18 \): \[ S_{18} = \frac{18}{2} \cdot (2 \cdot (-22.4) + (18 - 1) \cdot 1.9) \] \[ S_{18} = 9 \cdot (2 \cdot (-22.4) + 17 \cdot 1.9) \] \[ S_{18} = 9 \cdot (-44.8 + 32.3) \] \[ S_{18} = 9 \cdot (-12.5) = -112.5 \]
Ответ
Сумма первых восемнадцати членов этой арифметической прогрессии равна \( -112.5 \).
