Чтобы найти сумму первых восемнадцати членов арифметической прогрессии, сначала нам нужно определить первый член этой прогрессии и её разность.
Дано:
- ( a_{10} = -5.3 )
- ( a_{22} = 17.5 )
Шаг 1: Найдем разность прогрессии
Формула для n-го члена арифметической прогрессии звучит следующим образом:
[
a_n = a_1 + (n - 1) \cdot d
]
где:
- ( a_n ) — n-й член прогрессии,
- ( a_1 ) — первый член прогрессии,
- ( d ) — разность прогрессии (постоянное увеличение между членами),
- ( n ) — номер члена в последовательности.
Для ( n = 10 ) и ( n = 22 ):
- Для ( a_{10} ):
[
a_{10} = a_1 + 9d \quad (1)
]
- Для ( a_{22} ):
[
a_{22} = a_1 + 21d \quad (2)
]
Теперь мы можем подставить известные значения:
[
-5.3 = a_1 + 9d \quad (1)
]
[
17.5 = a_1 + 21d \quad (2)
]
Шаг 2: Выразим ( a_1 ) через ( d )
Теперь вычтем уравнение (1) из уравнения (2):
[
17.5 - (-5.3) = (a_1 + 21d) - (a_1 + 9d)
]
[
17.5 + 5.3 = 21d - 9d
]
[
22.8 = 12d
]
Теперь найдем ( d ):
[
d = \frac{22.8}{12} = 1.9
]
Шаг 3: Найдем ( a_1 )
Подставим значение ( d ) в одно из уравнений, например, в (1):
[
-5.3 = a_1 + 9 \cdot 1.9
]
[
-5.3 = a_1 + 17.1
]
[
a_1 = -5.3 - 17.1 = -22.4
]
Теперь у нас есть первый член прогрессии:
- ( a_1 = -22.4 )
- ( d = 1.9 )
Шаг 4: Найдем сумму первых 18 членов
Сумма первых n членов арифметической прогрессии вычисляется по формуле:
[
S_n = \frac{n}{2} \cdot (2a_1 + (n - 1)d)
]
Где:
- ( S_n ) — сумма первых n членов,
- ( n ) — количество членов,
- ( a_1 ) — первый член,
- ( d ) — разность.
Подставляем наши значения для ( n = 18 ):
[
S_{18} = \frac{18}{2} \cdot (2 \cdot (-22.4) + (18 - 1) \cdot 1.9)
]
[
S_{18} = 9 \cdot (2 \cdot (-22.4) + 17 \cdot 1.9)
]
[
S_{18} = 9 \cdot (-44.8 + 32.3)
]
[
S_{18} = 9 \cdot (-12.5) = -112.5
]
Ответ
Сумма первых восемнадцати членов этой арифметической прогрессии равна ( -112.5 ).
