Для решения данной задачи, давайте сначала разберемся с понятием независимых испытаний Бернулли. В каждом испытании есть два возможных исхода: успех (вероятность (p)) и неудача (вероятность (q)). В нашем случае:
- Вероятность успеха (p = \frac{1}{4})
- Вероятность неудачи (q = 1 - p = 1 - \frac{1}{4} = \frac{3}{4})
Теперь у нас имеется 6 независимых испытаний Бернулли, и мы ищем вероятность события, при котором первым происходят 2 успеха, а затем 4 неудачи. Это событие можно записать как:
- Успех, Успех, Неудача, Неудача, Неудача, Неудача (или сокращенно: У, У, Н, Н, Н, Н).
Шаг 1: Определение последовательности успехов и неудач
У нас есть 2 успеха и 4 неудачи, следовательно, общее количество испытаний — 6.
Шаг 2: Нахождение вероятности конкретной последовательности
Вероятность конкретной комбинации (2 успеха, 4 неудачи) рассчитывается как произведение вероятностей успехов и неудач:
[
P(У, У, Н, Н, Н, Н) = P(У) \cdot P(У) \cdot P(Н) \cdot P(Н) \cdot P(Н) \cdot P(Н)
]
Подставляем значения вероятностей:
[
P(У, У, Н, Н, Н, Н) = p \cdot p \cdot q \cdot q \cdot q \cdot q = p^2 \cdot q^4
]
Подставим (p) и (q):
[
P(У, У, Н, Н, Н, Н) = \left(\frac{1}{4}\right)^2 \cdot \left(\frac{3}{4}\right)^4
]
Шаг 3: Вычисление вероятностей
Теперь вычислим:
- (p^2 = \left(\frac{1}{4}\right)^2 = \frac{1}{16})
- (q^4 = \left(\frac{3}{4}\right)^4 = \frac{3^4}{4^4} = \frac{81}{256})
Теперь можем перемножить:
[
P(У, У, Н, Н, Н, Н) = \frac{1}{16} \cdot \frac{81}{256}
]
Шаг 4: Упрощение
Перемножим дроби:
[
P(У, У, Н, Н, Н, Н) = \frac{1 \times 81}{16 \times 256} = \frac{81}{4096}
]
Ответ
Таким образом, вероятность элементарного события, в котором сначала происходят 2 успеха, а затем 4 неудачи, равна:
[
\boxed{\frac{81}{4096}}
]
