Для того чтобы найти ( \sin 2\alpha ), нам необходимо использовать тригонометрическую тождество:
[
\sin 2\alpha = 2 \sin \alpha \cos \alpha
]
Мы знаем, что ( \sin \alpha = \frac{1}{2} ).
Теперь найдем ( \cos \alpha ). Воспользуемся основным тригонометрическим тождеством:
[
\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1
]
Подставим известное значение ( \sin \alpha ):
[
\left(\frac{1}{2}\right)^2 + \cos^2 \alpha = 1
]
[
\frac{1}{4} + \cos^2 \alpha = 1
]
[
\cos^2 \alpha = 1 - \frac{1}{4}
]
[
\cos^2 \alpha = \frac{3}{4}
]
Так как ( 0 < \alpha < \frac{\pi}{2} ), то ( \cos \alpha ) будет положительным. Найдем ( \cos \alpha ):
[
\cos \alpha = \sqrt{\frac{3}{4}} = \frac{\sqrt{3}}{2}
]
Теперь вернемся к нашей формуле для ( \sin 2\alpha ):
[
\sin 2\alpha = 2 \sin \alpha \cos \alpha = 2 \times \frac{1}{2} \times \frac{\sqrt{3}}{2}
]
[
\sin 2\alpha = \frac{\sqrt{3}}{2}
]
Таким образом, ( \sin 2\alpha = \frac{\sqrt{3}}{2} ).
