Вычислить

Для того чтобы найти \( \sin 2\alpha \), нам необходимо использовать тригонометрическую тождество:

\[ \sin 2\alpha = 2 \sin \alpha \cos \alpha \]

Мы знаем, что \( \sin \alpha = \frac{1}{2} \).

Теперь найдем \( \cos \alpha \). Воспользуемся основным тригонометрическим тождеством:

\[ \sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1 \]

Подставим известное значение \( \sin \alpha \):

\[ \left(\frac{1}{2}\right)^2 + \cos^2 \alpha = 1 \]

\[ \frac{1}{4} + \cos^2 \alpha = 1 \]

\[ \cos^2 \alpha = 1 - \frac{1}{4} \]

\[ \cos^2 \alpha = \frac{3}{4} \]

Так как \( 0 < \alpha < \frac{\pi}{2} \), то \( \cos \alpha \) будет положительным. Найдем \( \cos \alpha \):

\[ \cos \alpha = \sqrt{\frac{3}{4}} = \frac{\sqrt{3}}{2} \]

Теперь вернемся к нашей формуле для \( \sin 2\alpha \):

\[ \sin 2\alpha = 2 \sin \alpha \cos \alpha = 2 \times \frac{1}{2} \times \frac{\sqrt{3}}{2} \]

\[ \sin 2\alpha = \frac{\sqrt{3}}{2} \]

Таким образом, \( \sin 2\alpha = \frac{\sqrt{3}}{2} \).