Найдите все целые значения а, при каждом из которых значение выражения (a-2)2-3a+2 / a является целым числом. Запишите в ответ наименьшее из найденных значений.

Давайте решим задачу шаг за шагом. Нам необходимо найти все целые значения \( a \), при которых выражение \[ \frac{(a-2)^2 - 3a + 2}{a} \] является целым числом. 1. **Упрощение выражения.** Начнём с упрощения числителя: \[ (a-2)^2 - 3a + 2 \] Раскроем скобки: \[ = a^2 - 4a + 4 - 3a + 2 \] \[ = a^2 - 7a + 6 \] Таким образом, наше выражение переписывается как: \[ \frac{a^2 - 7a + 6}{a} \] 2. **Разделение дроби.** Разделим каждое слагаемое на \( a \): \[ = \frac{a^2}{a} - \frac{7a}{a} + \frac{6}{a} = a - 7 + \frac{6}{a} \] Теперь у нас есть выражение: \[ a - 7 + \frac{6}{a} \] 3. **Определение целого значения.** Чтобы выражение \( a - 7 + \frac{6}{a} \) было целым числом, дробь \( \frac{6}{a} \) также должна быть целым числом. Это означает, что \( a \) должен быть делителем числа 6. 4. **Нахождение делителей 6.** Целыми делителями 6 являются: \[ \pm 1, \pm 2, \pm 3, \pm 6 \] 5. **Список всех возможных целых значений \( a \)**: - \( a = 1: \quad 1 - 7 + \frac{6}{1} = 1 - 7 + 6 = 0 \) (целое) - \( a = -1: \quad -1 - 7 + \frac{6}{-1} = -1 - 7 - 6 = -14 \) (целое) - \( a = 2: \quad 2 - 7 + \frac{6}{2} = 2 - 7 + 3 = -2 \) (целое) - \( a = -2: \quad -2 - 7 + \frac{6}{-2} = -2 - 7 - 3 = -12 \) (целое) - \( a = 3: \quad 3 - 7 + \frac{6}{3} = 3 - 7 + 2 = -2 \) (целое) - \( a = -3: \quad -3 - 7 + \frac{6}{-3} = -3 - 7 - 2 = -12 \) (целое) - \( a = 6: \quad 6 - 7 + \frac{6}{6} = 6 - 7 + 1 = 0 \) (целое) - \( a = -6: \quad -6 - 7 + \frac{6}{-6} = -6 - 7 - 1 = -14 \) (целое) 6. **Поиск наименьшего целого значения \( a \).** Теперь соберем все полученные значения: \( 1, -1, 2, -2, 3, -3, 6, -6 \) Наименьшее из них: \[ -6 \] Итак, ответ на задачу — наименьшее целое значение \( a \), при котором выражение является целым числом, это: \[ \boxed{-6} \]