Найдите все целые значения а, при каждом из которых значение выражения (a-2)2-3a+2 / a является целым числом. Запишите в ответ наименьшее из найденных значений.
Давайте решим задачу шаг за шагом. Нам необходимо найти все целые значения \( a \), при которых выражение
\[ \frac{(a-2)^2 - 3a + 2}{a} \]
является целым числом.
Упрощение выражения.
Начнём с упрощения числителя:\[ (a-2)^2 - 3a + 2 \]
Раскроем скобки:
\[ = a^2 - 4a + 4 - 3a + 2 \] \[ = a^2 - 7a + 6 \]
Таким образом, наше выражение переписывается как:
\[ \frac{a^2 - 7a + 6}{a} \]
Разделение дроби.
Разделим каждое слагаемое на \( a \):
\[ = \frac{a^2}{a} - \frac{7a}{a} + \frac{6}{a} = a - 7 + \frac{6}{a} \]
Теперь у нас есть выражение:
\[ a - 7 + \frac{6}{a} \]
Определение целого значения.
Чтобы выражение \( a - 7 + \frac{6}{a} \) было целым числом, дробь \( \frac{6}{a} \) также должна быть целым числом. Это означает, что \( a \) должен быть делителем числа 6.Нахождение делителей 6.
Целыми делителями 6 являются:\[ \pm 1, \pm 2, \pm 3, \pm 6 \]
Список всех возможных целых значений \( a \):
- \( a = 1: \quad 1 - 7 + \frac{6}{1} = 1 - 7 + 6 = 0 \) (целое)
- \( a = -1: \quad -1 - 7 + \frac{6}{-1} = -1 - 7 - 6 = -14 \) (целое)
- \( a = 2: \quad 2 - 7 + \frac{6}{2} = 2 - 7 + 3 = -2 \) (целое)
- \( a = -2: \quad -2 - 7 + \frac{6}{-2} = -2 - 7 - 3 = -12 \) (целое)
- \( a = 3: \quad 3 - 7 + \frac{6}{3} = 3 - 7 + 2 = -2 \) (целое)
- \( a = -3: \quad -3 - 7 + \frac{6}{-3} = -3 - 7 - 2 = -12 \) (целое)
- \( a = 6: \quad 6 - 7 + \frac{6}{6} = 6 - 7 + 1 = 0 \) (целое)
- \( a = -6: \quad -6 - 7 + \frac{6}{-6} = -6 - 7 - 1 = -14 \) (целое)
Поиск наименьшего целого значения \( a \).
Теперь соберем все полученные значения:\( 1, -1, 2, -2, 3, -3, 6, -6 \)
Наименьшее из них:
\[ -6 \]
Итак, ответ на задачу — наименьшее целое значение \( a \), при котором выражение является целым числом, это:
\[ \boxed{-6} \]
