Число 푏 делится на 4, а число 푐 делится на 5. Найдите четыре числа, на которые делится 10푏 + 12푐 при всех таких 푏 и 푐.

Чтобы решить задачу, давайте проанализируем выражение \(10b + 12c\), учитывая условия, что \(b\) делится на 4, а \(c\) делится на 5. 1. **Рассмотрим делимость \(b\) на 4.** Это означает, что \(b\) может быть представлено в виде \(b = 4k\) для некоторого целого числа \(k\). Таким образом, \(10b\) можно переписать как: \[ 10b = 10(4k) = 40k \] Здесь \(40k\) делится на 40 (так как 40 является произведением 4 и 10). 2. **Рассмотрим делимость \(c\) на 5.** Аналогично, это означает, что \(c\) можно представить в виде \(c = 5m\) для некоторого целого числа \(m\). Таким образом, \(12c\) можно переписать как: \[ 12c = 12(5m) = 60m \] Здесь \(60m\) делится на 60 (так как 60 является произведением 12 и 5). 3. **Теперь объединим оба выражения.** Мы имеем: \[ 10b + 12c = 40k + 60m \] 4. **Найдём общий делитель.** Чтобы определить на какие числа делится \(40k + 60m\), найдем общий делитель 40 и 60: - \(40 = 2^3 \cdot 5\) - \(60 = 2^2 \cdot 3 \cdot 5\) Наибольший общий делитель (НОД) этих чисел: - НОД(40, 60) = \(2^2 \cdot 5 = 20\) Таким образом, \(10b + 12c\) делится как минимум на 20. 5. **Теперь можем найти дополнительные делители.** Обратите внимание, что как \(40k\), так и \(60m\) делятся на 20, поэтому \(10b + 12c\) также делится на все делители 20. Делители числа 20: - 1 - 2 - 4 - 5 - 10 - 20 Таким образом, завершив решение, мы получаем, что \(10b + 12c\) всегда будет делиться на следующие 4 числа: **20, 10, 5 и 4**. Ответ: \(10b + 12c\) делится на 20, 10, 5 и 4.