Число 푏 делится на 4, а число 푐 делится на 5. Найдите четыре числа, на которые делится 10푏 + 12푐 при всех таких 푏 и 푐.

Чтобы решить задачу, давайте проанализируем выражение \(10b + 12c\), учитывая условия, что \(b\) делится на 4, а \(c\) делится на 5.

1. Рассмотрим делимость \(b\) на 4.
   Это означает, что \(b\) может быть представлено в виде \(b = 4k\) для некоторого целого числа \(k\). Таким образом, \(10b\) можно переписать как:
   \[ 10b = 10(4k) = 40k \] Здесь \(40k\) делится на 40 (так как 40 является произведением 4 и 10).

2. Рассмотрим делимость \(c\) на 5.
   Аналогично, это означает, что \(c\) можно представить в виде \(c = 5m\) для некоторого целого числа \(m\). Таким образом, \(12c\) можно переписать как:
   \[ 12c = 12(5m) = 60m \] Здесь \(60m\) делится на 60 (так как 60 является произведением 12 и 5).

3. Теперь объединим оба выражения.
   Мы имеем:
   \[ 10b + 12c = 40k + 60m \]

4. Найдём общий делитель.
   Чтобы определить на какие числа делится \(40k + 60m\), найдем общий делитель 40 и 60:

   • \(40 = 2^3 \cdot 5\)
   • \(60 = 2^2 \cdot 3 \cdot 5\)

   Наибольший общий делитель (НОД) этих чисел:

   • НОД(40, 60) = \(2^2 \cdot 5 = 20\)

   Таким образом, \(10b + 12c\) делится как минимум на 20.

5. Теперь можем найти дополнительные делители.
   Обратите внимание, что как \(40k\), так и \(60m\) делятся на 20, поэтому \(10b + 12c\) также делится на все делители 20. Делители числа 20:

   • 1
   • 2
   • 4
   • 5
   • 10
   • 20

Таким образом, завершив решение, мы получаем, что \(10b + 12c\) всегда будет делиться на следующие 4 числа: 20, 10, 5 и 4.

Ответ: \(10b + 12c\) делится на 20, 10, 5 и 4.