2

Для решения задачи нужно разобраться с интегралом

\[ \int \frac{dx}{\sqrt{x} + 2}. \]

Это несложный интеграл, но требует некоторых алгебраических преобразований.

Решение:

1. Замена переменной:

   Чтобы упростить интегрирование, сделаем замену: \[ u = \sqrt{x} \implies x = u^2 \implies dx = 2u \, du. \]

2. Переписываем интеграл:

   После замены наш интеграл выглядит так: \[ \int \frac{2u \, du}{u + 2}. \]

3. Разделение на два интеграла:

   Разделим числитель и упростим: \[ = \int \left(\frac{2u}{u + 2}\right) \, du. \]

   Это можно разбить на два интеграла: \[ = \int 2 \, du - \int \frac{4}{u + 2} \, du. \]

4. Интегрирование:

   • Первый интеграл: \(\int 2 \, du = 2u\).

   • Второй интеграл: \(\int \frac{4}{u + 2} \, du = 4 \ln |u + 2|\).

5. Собираем все вместе:

   Подставляем обратно \(u = \sqrt{x}\): \[ 2\sqrt{x} - 4 \ln |\sqrt{x} + 2| + C. \]

Мы должны найти связь с выражением, данным в условии:

\[ A\sqrt{x} + B\ln(\sqrt{x} + 2) + C. \]

Сравнивая это с полученным результатом, получается:

• \(A = 2\),
• \(B = -4\).

Итак, параметр \(A\) равен \(2\).

Ответ: 2.