РЕШИТЬ ЗАДАЧИ: 1. В треугольнике АВС угол ВАС составляет 40°, при этом стороны АС и СВ равны. Определите внешний угол при вершине С. 2. На продолжении стороны АВ равнобедренного…

Давайте разберем каждую из задач по отдельности и предоставим подробные решения шаг за шагом.

Задача 1:

Дано:
В треугольнике \( ABC \) угол \( BAC = 40^\circ \), стороны \( AC \) и \( BC \) равны.

Цель: Найти внешний угол при вершине \( C \).

Решение:

1. Поскольку стороны \( AC \) и \( BC \) равны, треугольник \( ABC \) является равнобедренным. Это значит, что углы при основании \( A \) и \( B \) равны. Обозначим угол \( ABC \) как \( x \). Тогда угол \( ACB \) также будет равен \( x \).

2. По свойству суммы углов в треугольнике, имеем: \[ \angle BAC + \angle ABC + \angle ACB = 180^\circ \] Подставляем известные значения: \[ 40^\circ + x + x = 180^\circ \] Упрощаем: \[ 40^\circ + 2x = 180^\circ \] Выразим \( x \): \[ 2x = 180^\circ - 40^\circ = 140^\circ \] \[ x = \frac{140^\circ}{2} = 70^\circ \]

3. Таким образом, углы \( ABC \) и \( ACB \) равны \( 70^\circ \).

4. Теперь, чтобы найти внешний угол при вершине \( C \), вспомним, что внешний угол равен сумме двух не смежных углов. В данном случае: \[ \angle ADC = \angle BAC + \angle ACB = 40^\circ + 70^\circ = 110^\circ \]

Ответ: Внешний угол при вершине \( C \) равен \( 110^\circ \).

Задача 2:

Дано:
На продолжении стороны \( AB \) равнобедренного треугольника \( ABC \) с основанием \( AC \) отмечена точка \( D \) так, что \( AD = AC \) и точка \( A \) расположена между точками \( B \) и \( D \). Угол \( ABC = 28^\circ \).

Цель: Найти величину угла \( ADC \).

Решение:

1. В треугольнике \( ABC \) угол \( ABC \) равен \( 28^\circ \), и так как треугольник равнобедренный, угол \( ACB \) тоже равен \( 28^\circ \). Обозначим угол \( BAC \) как \( y \).

2. Рассмотрим сумму углов в треугольнике \( ABC \): \[ \angle ABC + \angle ACB + \angle BAC = 180^\circ \] Подставим известные значения: \[ 28^\circ + 28^\circ + y = 180^\circ \] \[ 56^\circ + y = 180^\circ \] \[ y = 180^\circ - 56^\circ = 124^\circ \]

3. Таким образом, угол \( BAC = 124^\circ \).

4. Теперь мы знаем, что \( AD = AC \). Тогда треугольник \( ACD \) тоже равнобедренный, где \( AC = AD \). Значит, углы \( CAD \) и \( ACD \) равны. Обозначим угол \( CAD \) как \( z \).

5. По свойству суммы углов треугольника \( ACD \): \[ \angle CAD + \angle ACD + \angle ADC = 180^\circ \] Нам нужно найти угол \( ADC \): \[ z + z + \angle ADC = 180^\circ \] \[ 2z + \angle ADC = 180^\circ \] Тогда: \[ \angle ADC = 180^\circ - 2z \]

6. Мы также знаем, что угол \( CAB = 124^\circ \) и он является внешним углом для треугольника \( ACD \), что означает, что: \[ \angle ADC = \angle CAB - \angle CAD = 124^\circ - z \]

7. Поскольку \( \angle CAD = z \) и мы можем решить уравнение: \[ 124^\circ - z = 180^\circ - 2z \] Приведем его к более удобному виду: \[ 124^\circ - 180^\circ = -z + 2z \] \[ -56^\circ = z \] Однако мы знаем, что \( z \) (это угол в треугольнике) не может быть отрицательным. Скорее всего, нужен другой подход.

   Мы знаем, что угол \( CAD \) равен: \[ z = \frac{180^\circ - 124^\circ}{2} = \frac{56^\circ}{2} = 28^\circ \]

Теперь можно подставить это значение в выражение для угла \( ADC \): \[ \angle ADC = 180^\circ - 2 \times 28^\circ = 180^\circ - 56^\circ = 124^\circ \]

Ответ: Угол \( ADC \) равен \( 124^\circ \).