Давайте перейдем к решению этой задачи шаг за шагом.
1. Обозначим переменные:
- Пусть ( v ) — скорость лодки от пристани до острова (км/ч).
- Тогда скорость лодки на обратном пути от острова до пристани будет ( v + 10 ) км/ч.
2. Время в пути:
Время, необходимое для того, чтобы проплыть 150 км на скорости ( v ), можно найти по формуле:
[
t_1 = \frac{150}{v}
]
где ( t_1 ) — время в пути от пристани до острова.
Для обратного пути, когда скорость лодки составляет ( v + 10 ), время можно выразить так:
[
t_2 = \frac{150}{v + 10}
]
где ( t_2 ) — время в пути от острова до пристани.
3. Условие задачи:
По условию задачи:
[
t_2 = t_1 - 0.5
]
Это значит, что время, потраченное на обратный путь, на полчаса меньше времени, потраченного на путь к острову.
4. Подставим выражения для времени в уравнение:
[
\frac{150}{v + 10} = \frac{150}{v} - 0.5
]
5. Умножим обе части уравнения на ( v(v + 10) ) (чтобы избавиться от дробей):
[
150v = 150(v + 10) - 0.5v(v + 10)
]
Упростим уравнение:
[
150v = 150v + 1500 - 0.5v^2 - 5v
]
6. Упрощаем:
[
0 = 1500 - 0.5v^2 - 5v
]
Перепишем это уравнение:
[
0.5v^2 + 5v - 1500 = 0
]
7. Умножим уравнение на 2 для удобства:
[
v^2 + 10v - 3000 = 0
]
8. Решим квадратное уравнение:
Используем формулу для нахождения корней квадратного уравнения:
[
v = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}
]
где ( a = 1 ), ( b = 10 ), и ( c = -3000 ).
Сначала найдем дискриминант:
[
D = b^2 - 4ac = 10^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-3000) = 100 + 12000 = 12100
]
Теперь находим корни:
[
v = \frac{-10 \pm \sqrt{12100}}{2} = \frac{-10 \pm 110}{2}
]
Это дает два возможных решения:
- ( v = \frac{100}{2} = 50 )
- ( v = \frac{-120}{2} = -60 ) (недопустимо, так как скорость не может быть отрицательной).
Таким образом:
[
v = 50 , \text{км/ч}
]
9. Скорость на обратном пути:
Теперь найдем скорость лодки на обратном пути:
[
v + 10 = 50 + 10 = 60 , \text{км/ч}
]
Ответ:
Лодка плыла от острова до пристани со скоростью 60 км/ч.
