Моторная лодка проплыла 150 км от пристани до острова. На обратном пути она увеличила скорость на 10 км/ч и провела в пути на 0,5 ч меньше. С какой скоростью плыла лодка от…

Давайте перейдем к решению этой задачи шаг за шагом.

1. Обозначим переменные:

• Пусть \( v \) — скорость лодки от пристани до острова (км/ч).
• Тогда скорость лодки на обратном пути от острова до пристани будет \( v + 10 \) км/ч.

2. Время в пути: Время, необходимое для того, чтобы проплыть 150 км на скорости \( v \), можно найти по формуле: \[ t_1 = \frac{150}{v} \] где \( t_1 \) — время в пути от пристани до острова.

Для обратного пути, когда скорость лодки составляет \( v + 10 \), время можно выразить так: \[ t_2 = \frac{150}{v + 10} \] где \( t_2 \) — время в пути от острова до пристани.

3. Условие задачи: По условию задачи: \[ t_2 = t_1 - 0.5 \] Это значит, что время, потраченное на обратный путь, на полчаса меньше времени, потраченного на путь к острову.

4. Подставим выражения для времени в уравнение: \[ \frac{150}{v + 10} = \frac{150}{v} - 0.5 \]

5. Умножим обе части уравнения на \( v(v + 10) \) (чтобы избавиться от дробей): \[ 150v = 150(v + 10) - 0.5v(v + 10) \]

Упростим уравнение: \[ 150v = 150v + 1500 - 0.5v^2 - 5v \]

6. Упрощаем: \[ 0 = 1500 - 0.5v^2 - 5v \] Перепишем это уравнение: \[ 0.5v^2 + 5v - 1500 = 0 \]

7. Умножим уравнение на 2 для удобства: \[ v^2 + 10v - 3000 = 0 \]

8. Решим квадратное уравнение: Используем формулу для нахождения корней квадратного уравнения: \[ v = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \] где \( a = 1 \), \( b = 10 \), и \( c = -3000 \).

Сначала найдем дискриминант: \[ D = b^2 - 4ac = 10^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-3000) = 100 + 12000 = 12100 \] Теперь находим корни: \[ v = \frac{-10 \pm \sqrt{12100}}{2} = \frac{-10 \pm 110}{2} \]

Это дает два возможных решения:

1. \( v = \frac{100}{2} = 50 \)
2. \( v = \frac{-120}{2} = -60 \) (недопустимо, так как скорость не может быть отрицательной).

Таким образом: \[ v = 50 \, \text{км/ч} \]

9. Скорость на обратном пути: Теперь найдем скорость лодки на обратном пути: \[ v + 10 = 50 + 10 = 60 \, \text{км/ч} \]

Ответ: Лодка плыла от острова до пристани со скоростью 60 км/ч.