Давайте решим задачу шаг за шагом.
Условие задачи: Катя купила конфеты и встретила 5 подруг. При каждой встрече она отдавала половину своих конфет и ещё по одной конфете. В конце, когда она дошла домой, у неё не осталось конфет. Нужно выяснить, сколько конфет она купила.
Шаг 1: Определим процесс раздачи конфет
- Пусть ( x ) — это количество конфет, которое купила Катя.
- Она встретила 5 подруг и при каждой встрече отдавала половину имеющихся у неё конфет и одну конфету.
Шаг 2: Разберём, что происходит на каждой встрече
Для каждой подруги:
- До встречи: ( C ), количество конфет, которые у неё есть.
- После отдачи половины: остаётся ( \frac{C}{2} ) конфет.
- После отдачи одной конфеты: остаётся ( \frac{C}{2} - 1 ).
Теперь нужно выразить, что происходит после каждой встречи.
Шаг 3: Проанализируем каждую встречу
Обозначим количество конфет до каждой встречи:
- Перед 1-й встречей: ( x )
- После 1-й встречи: ( \frac{x}{2} - 1 )
- Перед 2-й встречи: ( \frac{x}{2} - 1 )
- После 2-й встречи: ( \frac{\frac{x}{2} - 1}{2} - 1 = \frac{x}{4} - \frac{1}{2} - 1 = \frac{x}{4} - \frac{3}{2} )
Продолжим аналогичные вычисления для остальных встреч до пятой:
- После 1-й: ( \frac{x}{2} - 1 )
- После 2-й: ( \frac{x}{4} - \frac{3}{2} )
- После 3-й:
[
\frac{\frac{x}{4} - \frac{3}{2}}{2} - 1 = \frac{x}{8} - \frac{3}{4} - 1 = \frac{x}{8} - \frac{7}{4}
]
- После 4-й:
[
\frac{\frac{x}{8} - \frac{7}{4}}{2} - 1 = \frac{x}{16} - \frac{7}{8} - 1 = \frac{x}{16} - \frac{15}{8}
]
- После 5-й:
[
\frac{\frac{x}{16} - \frac{15}{8}}{2} - 1 = \frac{x}{32} - \frac{15}{16} - 1 = \frac{x}{32} - \frac{31}{16}
]
Шаг 4: Установим уравнение
Согласно условию задачи, после встречи с 5-й подругой у Кати не осталось конфет:
[
\frac{x}{32} - \frac{31}{16} = 0
]
Шаг 5: Решим уравнение
Теперь решим ( \frac{x}{32} - \frac{31}{16} = 0 ):
[
\frac{x}{32} = \frac{31}{16}
]
Умножим обе стороны на 32:
[
x = 32 \cdot \frac{31}{16} = 2 \cdot 31 = 62
]
Ответ
Таким образом, Катя купила 62 конфеты в магазине.
