Внешний угол при вершине B треугольника ABC равен 70° биссектриса углов A и C треугольника пересекаются в точке О Найдите величину угла aoc

Для решения данной задачи начнем с определения, что нам дано. 1. Внешний угол при вершине \( B \) треугольника \( ABC \) равен \( 70^\circ \). 2. Биссектрисы углов \( A \) и \( C \) пересекаются в точке \( O \). 3. Нам нужно найти величину угла \( \angle AOC \). ### Шаг 1: Определение внутренних углов Согласно свойству внешнего угла треугольника, внешний угол равен сумме двух внутренних углов, не соседних с ним. В нашем случае: \[ \angle ABC (внутренний угол) + \angle ACB (внутренний угол) = 70^\circ \] Обозначим угол \( \angle A \) как \( a \), угол \( \angle B \) как \( b \), и угол \( \angle C \) как \( c \). Тогда мы можем сопоставить: \[ c + b = 70^\circ \] ### Шаг 2: Определение углов A и C Согласно сумме углов в треугольнике, мы знаем, что: \[ a + b + c = 180^\circ \] Теперь мы можем решить систему уравнений. Мы уже имеем \( c + b = 70^\circ \). Подставим \( c \) из первого уравнения во второе: 1. Из первого уравнения выразим \( c \): \[ c = 70^\circ - b \] 2. Подставим это значение в уравнение суммы углов: \[ a + b + (70^\circ - b) = 180^\circ \] Упростим уравнение: \[ a + 70^\circ = 180^\circ \] Следовательно, находим угол \( a \): \[ a = 180^\circ - 70^\circ = 110^\circ \] ### Шаг 3: Находим угол C Теперь, зная, что \( a = 110^\circ \), можем найти угол \( c \): \[ b + c = 70^\circ \] Так как сумма углов в треугольнике равна \( 180^\circ \): \[ 110^\circ + b + c = 180^\circ \] Подставим \( c = 70^\circ - b \) в уравнение: \[ 110^\circ + b + (70^\circ - b) = 180^\circ \] Это правильно и проверяет, что у нас нет ошибок. ### Шаг 4: Находим угол AOC Теперь, чтобы найти угол \( \angle AOC \), воспользуемся тем, что биссектрисы углов будут делить углы на пополам. Тогда: \[ \angle AOB = \frac{a}{2} = \frac{110^\circ}{2} = 55^\circ \] \[ \angle BOC = \frac{c}{2} = \frac{(70 - b)}{2} \] Так как \( b + c = 70^\circ \), мы видим, что: \[ \angle AOB + \angle BOC = 55^\circ + \frac{(70^\circ - b)}{2} = 180^\circ - 70^\circ \] Но также стоит помнить, что: \[ \angle AOC = \angle AOB + \angle BOC \] То есть: \[ \angle AOC = 55^\circ + \frac{70^\circ}{2} = 55^\circ + 35^\circ = 90^\circ \] ### Ответ Таким образом, величина угла \( \angle AOC \) равна \( 90^\circ \).