Сколько существует 10 значных чисел в которых хотя бы две цифры одинаковые

Для нахождения количества 10-значных чисел, в которых хотя бы две цифры одинаковые, проще всего использовать метод дополнения. Сначала мы найдем общее количество 10-значных чисел, затем вычтем количество 10-значных чисел, у которых все цифры разные. ### Шаг 1: Общее количество 10-значных чисел 10-значное число начинается с цифры от 1 до 9 (ноль не может быть первой цифрой). Таким образом, для первой цифры у нас есть 9 вариантов. Для каждой из следующих 9 цифр (второй, третьей и так далее) мы можем использовать любое из 10 возможных значений (0-9). Итак, общее количество 10-значных чисел: \[ 9 \times 10^9 \] ### Шаг 2: Количество 10-значных чисел с уникальными цифрами Для случая, когда все 10 цифр уникальны, также нужно учитывать, что первая цифра не может быть 0. Поэтому для первой цифры у нас есть 9 вариантов (1-9), а для каждой из следующих цифр мы можем выбирать оставшиеся цифры без повторений. - 1-я цифра: 9 вариантов (1-9) - 2-я цифра: 9 оставшихся вариантов (0 и 8 возможных цифр от 1 до 9) - 3-я цифра: 8 оставшихся вариантов - 4-я цифра: 7 оставшихся вариантов - 5-я цифра: 6 оставшихся вариантов - 6-я цифра: 5 оставшихся вариантов - 7-я цифра: 4 оставшихся вариантов - 8-я цифра: 3 оставшихся варианта - 9-я цифра: 2 оставшихся варианта - 10-я цифра: 1 оставшийся вариант Таким образом, количество 10-значных чисел, где все цифры уникальны, составит: \[ 9 \times 9 \times 8 \times 7 \times 6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 \] ### Подсчёт чисел с разными цифрами Эта формула можно записать как \(9 \times P(9, 9)\), где \(P(n, k)\) — это количество перестановок \(k\) из \(n\) элементов. \[ 9 \times (9!) \] Значение \(9!\) (факториал 9) равно 362880. Подсчитаем общее количество таких чисел: \[ 9 \times 362880 = 3265920 \] ### Шаг 3: Количество 10-значных чисел с хотя бы одной повторяющейся цифрой Теперь мы можем найти количество 10-значных чисел, в которых хотя бы две цифры одинаковые, вычитая количество чисел с уникальными цифрами из общего количества 10-значных чисел: \[ 9 \times 10^9 - 3265920 \] Теперь подставим значение: \[ 9 \times 10^9 = 9000000000 \] Итак, \[ 9000000000 - 3265920 = 8996734080 \] ### Итог Таким образом, количество 10-значных чисел, содержащих хотя бы две одинаковые цифры, равно **8996734080**.