Сколько существует 10 значных чисел в которых хотя бы две цифры одинаковые

Для нахождения количества 10-значных чисел, в которых хотя бы две цифры одинаковые, проще всего использовать метод дополнения. Сначала мы найдем общее количество 10-значных чисел, затем вычтем количество 10-значных чисел, у которых все цифры разные.

Шаг 1: Общее количество 10-значных чисел

10-значное число начинается с цифры от 1 до 9 (ноль не может быть первой цифрой). Таким образом, для первой цифры у нас есть 9 вариантов. Для каждой из следующих 9 цифр (второй, третьей и так далее) мы можем использовать любое из 10 возможных значений (0-9). Итак, общее количество 10-значных чисел:

\[ 9 \times 10^9 \]

Шаг 2: Количество 10-значных чисел с уникальными цифрами

Для случая, когда все 10 цифр уникальны, также нужно учитывать, что первая цифра не может быть 0. Поэтому для первой цифры у нас есть 9 вариантов (1-9), а для каждой из следующих цифр мы можем выбирать оставшиеся цифры без повторений.

• 1-я цифра: 9 вариантов (1-9)
• 2-я цифра: 9 оставшихся вариантов (0 и 8 возможных цифр от 1 до 9)
• 3-я цифра: 8 оставшихся вариантов
• 4-я цифра: 7 оставшихся вариантов
• 5-я цифра: 6 оставшихся вариантов
• 6-я цифра: 5 оставшихся вариантов
• 7-я цифра: 4 оставшихся вариантов
• 8-я цифра: 3 оставшихся варианта
• 9-я цифра: 2 оставшихся варианта
• 10-я цифра: 1 оставшийся вариант

Таким образом, количество 10-значных чисел, где все цифры уникальны, составит:

\[ 9 \times 9 \times 8 \times 7 \times 6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 \]

Подсчёт чисел с разными цифрами

Эта формула можно записать как \(9 \times P(9, 9)\), где \(P(n, k)\) — это количество перестановок \(k\) из \(n\) элементов.

\[ 9 \times (9!) \]

Значение \(9!\) (факториал 9) равно 362880. Подсчитаем общее количество таких чисел:

\[ 9 \times 362880 = 3265920 \]

Шаг 3: Количество 10-значных чисел с хотя бы одной повторяющейся цифрой

Теперь мы можем найти количество 10-значных чисел, в которых хотя бы две цифры одинаковые, вычитая количество чисел с уникальными цифрами из общего количества 10-значных чисел:

\[ 9 \times 10^9 - 3265920 \]

Теперь подставим значение:

\[ 9 \times 10^9 = 9000000000 \]

Итак,

\[ 9000000000 - 3265920 = 8996734080 \]

Итог

Таким образом, количество 10-значных чисел, содержащих хотя бы две одинаковые цифры, равно 8996734080.