{3x+5y=14 7x-5y=16
Чтобы решить систему уравнений:
- \( 3x + 5y = 14 \)
- \( 7x - 5y = 16 \)
мы можем использовать метод сложения (или исключения). Давайте разберёмся, как это сделать шаг за шагом.
Шаг 1: Подготовим уравнения
У нас есть два уравнения, и во втором уравнении нам нужно, чтобы коэффициенты при \( y \) были одинаковыми, чтобы мы могли их исключить, когда сложим оба уравнения. В нашем случае коэффициенты перед \( y \) равны \( 5 \) и \( -5 \). Они уже подготовлены для сложения, так как они взаимно противоположны.
Шаг 2: Складываем уравнения
Теперь мы можем сложить оба уравнения:
\[ (3x + 5y) + (7x - 5y) = 14 + 16 \]
Это приводит к:
\[ 3x + 7x + 5y - 5y = 30 \]
Шаг 3: Упрощаем уравнение
Сложим коэффициенты \( x \):
\[ 10x = 30 \]
Шаг 4: Решаем для \( x \)
Теперь мы можем решить для \( x \):
\[ x = \frac{30}{10} = 3 \]
Теперь, когда мы знаем значение \( x \), мы можем подставить его в одно из уравнений, чтобы найти \( y \). Подставим \( x = 3 \) в первое уравнение:
\[ 3(3) + 5y = 14 \]
Это упрощается до:
\[ 9 + 5y = 14 \]
Шаг 5: Изолируем \( y \)
Теперь, чтобы найти \( y \), вычтем \( 9 \) из обеих сторон:
\[ 5y = 14 - 9 \] \[ 5y = 5 \]
Поделим обе стороны на \( 5 \):
\[ y = 1 \]
Шаг 6: Итог
Таким образом, мы нашли наши значения:
\[ x = 3, \quad y = 1 \]
Проверка решения
Для проверки, подставим значения \( x \) и \( y \) в оба исходных уравнения.
- \( 3(3) + 5(1) = 9 + 5 = 14 \) — верно.
- \( 7(3) - 5(1) = 21 - 5 = 16 \) — верно.
Обе проверки подтверждают, что наше решение правильное.
Ответ:
\( x = 3, \quad y = 1 \)
