Заполните таблицу истинности выражения: (A ∨ ¬ B ∧ ¬C) ∧ C.
Чтобы заполнить таблицу истинности для логического выражения \( (A \lor \neg B \land \neg C) \land C \), нам нужно рассмотреть все возможные комбинации значений переменных \( A \), \( B \) и \( C \). Переменные могут принимать значения \( 0 \) (ложь) или \( 1 \) (истина).
Шаг 1: Определим значения переменных
Переменные:
- \( A \)
- \( B \)
- \( C \)
Каждая переменная может принимать либо 0, либо 1. Поскольку имеется три переменные, всего будет \( 2^3 = 8 \) различных комбинаций. Мы можем представить их в виде таблицы:
| A | B | C |
|---|---|---|
| 0 | 0 | 0 |
| 0 | 0 | 1 |
| 0 | 1 | 0 |
| 0 | 1 | 1 |
| 1 | 0 | 0 |
| 1 | 0 | 1 |
| 1 | 1 | 0 |
| 1 | 1 | 1 |
Шаг 2: Вычислим выражение
Теперь будем поочередно вычислять выражение \( (A \lor \neg B \land \neg C) \land C \) для каждой комбинации значений переменных.
Для \( A = 0, B = 0, C = 0 \):
- \( \neg B = 1 \)
- \( \neg C = 1 \)
- \( B \land C = 1 \land 1 = 1 \)
- \( A \lor \neg B \land \neg C = 0 \lor 1 = 1 \)
- Итог: \( 1 \land 0 = 0 \)
Для \( A = 0, B = 0, C = 1 \):
- \( \neg B = 1 \)
- \( \neg C = 0 \)
- \( B \land C = 1 \land 0 = 0 \)
- \( A \lor \neg B \land \neg C = 0 \lor 0 = 0 \)
- Итог: \( 0 \land 1 = 0 \)
Для \( A = 0, B = 1, C = 0 \):
- \( \neg B = 0 \)
- \( \neg C = 1 \)
- \( B \land C = 0 \land 1 = 0 \)
- \( A \lor \neg B \land \neg C = 0 \lor 0 = 0 \)
- Итог: \( 0 \land 0 = 0 \)
Для \( A = 0, B = 1, C = 1 \):
- \( \neg B = 0 \)
- \( \neg C = 0 \)
- \( B \land C = 0 \land 0 = 0 \)
- \( A \lor \neg B \land \neg C = 0 \lor 0 = 0 \)
- Итог: \( 0 \land 1 = 0 \)
Для \( A = 1, B = 0, C = 0 \):
- \( \neg B = 1 \)
- \( \neg C = 1 \)
- \( B \land C = 1 \land 1 = 1 \)
- \( A \lor \neg B \land \neg C = 1 \lor 1 = 1 \)
- Итог: \( 1 \land 0 = 0 \)
Для \( A = 1, B = 0, C = 1 \):
- \( \neg B = 1 \)
- \( \neg C = 0 \)
- \( B \land C = 1 \land 0 = 0 \)
- \( A \lor \neg B \land \neg C = 1 \lor 0 = 1 \)
- Итог: \( 1 \land 1 = 1 \)
Для \( A = 1, B = 1, C = 0 \):
- \( \neg B = 0 \)
- \( \neg C = 1 \)
- \( B \land C = 1 \land 1 = 0 \)
- \( A \lor \neg B \land \neg C = 1 \lor 0 = 1 \)
- Итог: \( 1 \land 0 = 0 \)
Для \( A = 1, B = 1, C = 1 \):
- \( \neg B = 0 \)
- \( \neg C = 0 \)
- \( B \land C = 1 \land 0 = 0 \)
- \( A \lor \neg B \land \neg C = 1 \lor 0 = 1 \)
- Итог: \( 1 \land 1 = 1 \)
Шаг 3: Соберем таблицу истинности
Теперь соберем все результаты в одну таблицу:
| A | B | C | (A ∨ ¬B ∧ ¬C) ∧ C |
|---|---|---|---|
| 0 | 0 | 0 | 0 |
| 0 | 0 | 1 | 0 |
| 0 | 1 | 0 | 0 |
| 0 | 1 | 1 | 0 |
| 1 | 0 | 0 | 0 |
| 1 | 0 | 1 | 1 |
| 1 | 1 | 0 | 0 |
| 1 | 1 | 1 | 1 |
Итог
Таблица истинности для выражения \( (A \lor \neg B \land \neg C) \land C \) выглядит следующим образом. Таким образом, мы можем увидеть, при каких значениях \( A \), \( B \) и \( C \) логическое выражение истинно (1) или ложно (0).
