2/(x во 2 степени -х+1)-1/(x+1)=(2x-1)/(x в 3 степени +1)
Давайте решим уравнение:
\[ \frac{2}{x^2 - x + 1} - \frac{1}{x + 1} = \frac{2x - 1}{x^3 + 1} \]
Шаг 1: Приведение к общему знаменателю
Чтобы решить это уравнение, сначала найдем общий знаменатель для левой части. Общий знаменатель будет \( (x^2 - x + 1)(x + 1) \).
Шаг 2: Преобразуем левую часть уравнения
Перепишем левую часть уравнения:
\[ \frac{2(x + 1) - (x^2 - x + 1)}{(x^2 - x + 1)(x + 1)} \]
Теперь раскроем скобки в числителе:
\[ 2(x + 1) = 2x + 2 \] \[ -(x^2 - x + 1) = -x^2 + x - 1 \]
Соединяем эти две части:
\[ 2x + 2 - x^2 + x - 1 = -x^2 + 3x + 1 \]
Таким образом, в левой части мы имеем:
\[ \frac{-x^2 + 3x + 1}{(x^2 - x + 1)(x + 1)} \]
Шаг 3: Преобразуем правую часть уравнения
Теперь рассмотрим правую часть:
\[ \frac{2x - 1}{x^3 + 1} \]
Заметим, что \(x^3 + 1\) можно разложить как:
\[ x^3 + 1 = (x + 1)(x^2 - x + 1) \]
Таким образом, правую часть можно переписать как:
\[ \frac{2x - 1}{(x + 1)(x^2 - x + 1)} \]
Шаг 4: Объединение уравнения
Теперь у нас есть уравнение:
\[ \frac{-x^2 + 3x + 1}{(x^2 - x + 1)(x + 1)} = \frac{2x - 1}{(x + 1)(x^2 - x + 1)} \]
При условии, что знаменатели равны, мы можем приравнять числители:
\[ -x^2 + 3x + 1 = 2x - 1 \]
Шаг 5: Решение квадратного уравнения
Переносим все в одну сторону:
\[ -x^2 + 3x + 1 - 2x + 1 = 0 \] \[ -x^2 + x + 2 = 0 \]
Умножаем на \(-1\) для удобства (изменив знак ко всем членам):
\[ x^2 - x - 2 = 0 \]
Теперь решим это квадратное уравнение, используя формулу корней:
\[ x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \]
Где \(a = 1\), \(b = -1\), и \(c = -2\).
Подставим значения:
\[ x = \frac{-(-1) \pm \sqrt{(-1)^2 - 4(1)(-2)}}{2(1)} \] \[ x = \frac{1 \pm \sqrt{1 + 8}}{2} \] \[ x = \frac{1 \pm 3}{2} \]
Таким образом, у нас два решения:
- \(x = \frac{4}{2} = 2\)
- \(x = \frac{-2}{2} = -1\)
Шаг 6: Проверка решений
Нужно проверить, подходят ли наши решения в изначальное уравнение, так как значение \(x = -1\) может вызвать деление на ноль в нашем уравнении.
При \(x = -1\):
- Знаменатель \(x + 1 = 0\) – деление на ноль не разрешено.
При \(x = 2\):
- Подставляем в изначальное уравнение и проверяем.
Однако, поскольку \(x = -1\) недопустимо, оставляем только одно решение:
\[ \boxed{2} \]
Таким образом, окончательное решение данной задачи — \(x = 2\).
