Лиза составляет шестибуквенные слова перестановкой букв слова САПСАН. При этом она избегает слов с двумя подряд одинаковыми буквами. Сколько различных кодов может составить Лиза?

Для решения данной задачи мы должны найти, сколько различных шестибуквенных слов можно составить из букв слова "САПСАН", избегая при этом повторяющихся букв. 1. **Сначала определим буквы и их количества**: - В слове "САПСАН" помимо уникального "С", "А", "П" есть буква "С", которая повторяется 2 раза, и буква "А", которая также повторяется 2 раза. - Буквы: С (2), А (2), П (1), Н (1). 2. **Получим общее количество перестановок**: Поскольку буквы не все разные, мы воспользуемся формулой для перестановок с учетом повторений: \[ n! = \frac{N!}{n_1! \cdot n_2! \cdot n_k!} \] где \(N\) — общее количество букв, \(n_1, n_2, ..., n_k\) — количество повторяющихся букв. Здесь \(N = 6\) (всего 6 букв), и у нас есть: - 2 буквы "С", - 2 буквы "А", - 1 буква "П", - 1 буква "Н". Подставляем числа в формулу: \[ \text{Общее количество перестановок} = \frac{6!}{2! \cdot 2! \cdot 1! \cdot 1!} = \frac{720}{2 \cdot 2 \cdot 1 \cdot 1} = \frac{720}{4} = 180. \] 3. **Теперь учтем запрет на повторяющиеся буквы**: Нам нужно исключить перестановки, в которых "С" или "А" стоят рядом. Это можно сделать, используя принцип включения-исключения или считать слова без "С" и "А" рядом. Сначала мы найдем количество слов, в которых "С" стоят рядом, а затем – количество слов, в которых "А" стоят рядом, и в конце добавим количество слов, в которых оба повтора стоят рядом. - **Считаем, когда "С" рядом**: Мы можем считать "СС" как одну букву, тогда получим: - "СС", "А", "А", "П", "Н" — 5 букв. Подсчитаем перестановки: \[ \frac{5!}{2! \cdot 1! \cdot 1!} = \frac{120}{2} = 60. \] - **Считаем, когда "А" рядом**: Аналогично, считаем "AA" как одну букву: - "С", "С", "AA", "П", "Н" — 5 букв. Подсчитаем перестановки: \[ \frac{5!}{2! \cdot 1! \cdot 1!} = 60. \] - **Считаем совместное появление "С" и "А" рядом**: Рассмотрим "СС" и "AA" как одну букву, тогда получим: - "SS", "AA", "П", "Н" — 4 буквы. Подсчитаем перестановки: \[ 4! = 24. \] 4. **Теперь использовав принцип включения-исключения, мы посчитаем слова с соседними буквами**: \[ \text{Заблокированные} = 60 + 60 - 24 = 96. \] 5. **Итак, находим итоговое количество без блокировок**: \[ \text{Итоговое количество} = 180 - 96 = 84. \] Таким образом, Лиза может составить **84 различных шестибуквенных слова** из букв слова "САПСАН" без повторяющихся букв.