Для нахождения радиуса окружности, описанной около треугольника (обозначим его как ( R )), можно воспользоваться формулой:
[
R = \frac{abc}{4S}
]
где:
- ( a, b, c ) — длины сторон треугольника,
- ( S ) — площадь треугольника.
Определим стороны треугольника:
- ( a = 13 ) см,
- ( b = 20 ) см,
- ( c = 21 ) см.
Вычислим полупериметр треугольника ( p ):
Полупериметр вычисляется по формуле:
[
p = \frac{a + b + c}{2}
]
Подставим значения:
[
p = \frac{13 + 20 + 21}{2} = \frac{54}{2} = 27 \text{ см}
]
- Теперь найдем площадь треугольника ( S ) с помощью формулы Герона:
[
S = \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}
]
Сначала вычислим каждое из выражений:
[
p - a = 27 - 13 = 14
]
[
p - b = 27 - 20 = 7
]
[
p - c = 27 - 21 = 6
]
Теперь подставим эти значения в формулу для площади:
[
S = \sqrt{27 \cdot 14 \cdot 7 \cdot 6}
]
- Выполним перемножение:
[
S = \sqrt{27 \cdot 14 \cdot 7 \cdot 6}
]
Сначала упростим:
- ( 14 \cdot 7 = 98 )
- ( 98 \cdot 6 = 588 )
- ( 27 \cdot 588 )
Теперь находим ( 27 \cdot 588 ):
[
27 \cdot 588 = 15876
]
- Теперь найдем ( S ):
[
S = \sqrt{15876}
]
Посчитаем:
[
S \approx 126 \text{ см}^2
]
- Теперь подставим найденные значения в формулу для радиуса ( R ):
[
R = \frac{abc}{4S} = \frac{13 \cdot 20 \cdot 21}{4 \cdot 126}
]
Сначала посчитаем числитель:
[
13 \cdot 20 = 260
]
[
260 \cdot 21 = 5460
]
Теперь подставим в формулу:
[
R = \frac{5460}{504}
]
Посчитаем:
[
R = 10.8333 \approx 10.83 \text{ см}
]
- Ответ:
Радиус окружности, описанной около треугольника со сторонами 13 см, 20 см и 21 см, составляет приблизительно ( 10.83 ) см.
