Найти радиус окружности описанной около треугольника со сторонами 13 см, 20 см и 21 см
Для нахождения радиуса окружности, описанной около треугольника (обозначим его как \( R \)), можно воспользоваться формулой:
\[ R = \frac{abc}{4S} \]
где:
- \( a, b, c \) — длины сторон треугольника,
- \( S \) — площадь треугольника.
Определим стороны треугольника:
- \( a = 13 \) см,
- \( b = 20 \) см,
- \( c = 21 \) см.
Вычислим полупериметр треугольника \( p \): Полупериметр вычисляется по формуле:
\[ p = \frac{a + b + c}{2} \]
Подставим значения:
\[ p = \frac{13 + 20 + 21}{2} = \frac{54}{2} = 27 \text{ см} \]
- Теперь найдем площадь треугольника \( S \) с помощью формулы Герона:
\[ S = \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)} \]
Сначала вычислим каждое из выражений:
\[ p - a = 27 - 13 = 14 \] \[ p - b = 27 - 20 = 7 \] \[ p - c = 27 - 21 = 6 \]
Теперь подставим эти значения в формулу для площади:
\[ S = \sqrt{27 \cdot 14 \cdot 7 \cdot 6} \]
- Выполним перемножение:
\[ S = \sqrt{27 \cdot 14 \cdot 7 \cdot 6} \]
Сначала упростим:
- \( 14 \cdot 7 = 98 \)
- \( 98 \cdot 6 = 588 \)
- \( 27 \cdot 588 \)
Теперь находим \( 27 \cdot 588 \):
\[ 27 \cdot 588 = 15876 \]
- Теперь найдем \( S \):
\[ S = \sqrt{15876} \]
Посчитаем:
\[ S \approx 126 \text{ см}^2 \]
- Теперь подставим найденные значения в формулу для радиуса \( R \):
\[ R = \frac{abc}{4S} = \frac{13 \cdot 20 \cdot 21}{4 \cdot 126} \]
Сначала посчитаем числитель:
\[ 13 \cdot 20 = 260 \] \[ 260 \cdot 21 = 5460 \]
Теперь подставим в формулу:
\[ R = \frac{5460}{504} \]
Посчитаем:
\[ R = 10.8333 \approx 10.83 \text{ см} \]
- Ответ: Радиус окружности, описанной около треугольника со сторонами 13 см, 20 см и 21 см, составляет приблизительно \( 10.83 \) см.
