Для какого наибольшего целого неотрицательного числа A логическое выражение: (x + y ≤ 30) ∨ (y ≤ x + 2) ∨ (y ≥ A) тождественно истинно, т.е. принимает значение 1 при любых целых положительных x и y?

Чтобы выяснить для какого наибольшего целого неотрицательного числа \( A \) логическое выражение \( (x + y \leq 30) \lor (y \leq x + 2) \lor (y \geq A) \) является тождественно истинным, необходимо проанализировать каждую его часть с учетом всевозможных положительных значений \( x \) и \( y \). ### Шаг 1: Разберем каждое условие 1. **Первое условие:** \( x + y \leq 30 \) - Это условие истинно, когда сумма \( x \) и \( y \) меньше или равна 30. Например, при \( x = 1 \) и \( y = 28 \) это условие истинно, но при \( x = 20 \) и \( y = 20 \) оно ложно. 2. **Второе условие:** \( y \leq x + 2 \) - Это условие необходимо, когда \( y \) не превышает значение \( x + 2 \). Например, если \( x = 3 \), то \( y \) должно быть не более 5 для того, чтобы условие было истинным. 3. **Третье условие:** \( y \geq A \) - Это условие будет истинным, когда \( y \) больше или равно \( A \). ### Шаг 2: Найдем условия для истинности всех частей Выражение должно быть истинным для любых положительных \( x \) и \( y \). Поэтому мы должны определить значения, при которых каждая часть может быть ложной одновременно. 1. **Если \( x = 29 \) и \( y = 2 \):** - \( x + y = 29 + 2 = 31 \) (условие \( x + y \leq 30 \) ложно) - \( y \leq x + 2 \rightarrow 2 \leq 29 + 2 \) (это условие истинно) - Таким образом, все равно остается условие \( y \geq A \). Здесь \( y = 2 \), следовательно, получается, что \( A \) должно быть не больше 2. 2. **Если \( x = 1 \) и \( y = 2 \):** - \( x + y = 1 + 2 = 3 \) (условие \( x + y \leq 30 \) истинно) - \( y \leq x + 2 \rightarrow 2 \leq 1 + 2 \) (это условие истинно) - Всё равно остается условие \( y \geq A \) и \( A \) должно быть не больше 2. Таким образом, мы видим, что при значении \( A = 2 \) последнее условие будет истинным при \( y = 2 \). ### Шаг 3: Проверка на большее значение Если мы предположим, что \( A = 3 \): - В этом случае при \( x = 1 \) и \( y = 2 \) условие \( y \geq 3 \) будет ложным, и всё выражение станет ложным. ### Вывод Наибольшее целое неотрицательное число \( A \), при котором выражение остаётся тождественно истинным для всех положительных \( x \) и \( y \), равно \( 2 \). **Ответ:** \( A = 2 \)