Чтобы найти вероятность того, что произведение чисел на карточках Пети, Васи и Толи будет простым числом, начнем с того, что для произведения трех чисел (чисел на карточках) ( P_1, P_2, P_3 ) (где ( P_1, P_2, P_3 ) — это выбранные карточки каждого из игроков) произведение будет простым, если одно из чисел будет простым, а два других будут равны 1.
Из карточек 1, 4, 5, 6, 13 у нас есть следующие простые числа: 5 и 13. Число 1 не влияет на произведение и будет рассматриваться как "1".
Таким образом, чтобы произведение было простым, возможно несколько сценариев:
- Один игрок выбирает 5, а остальные выбирают 1 (то есть карточку с номером 1).
- Один игрок выбирает 13, а остальные выбирают 1.
Теперь найдем количество благоприятных исходов и общее количество исходов.
Общее количество исходов:
Каждый игрок может выбрать одну из пяти карточек, значит общее количество исходов:
[ 5 \times 5 \times 5 = 125. ]
Количество благоприятных исходов:
Сценарий с 5:
- Один из трех игроков выбирает 5 (поэтому у нас 3 варианта, поскольку это может быть Петя, Вася или Толик).
- Остальные двое выбирают 1. Остальные варианты (по 1 для каждого) фиксированы.
Таким образом, для первого случая у нас:
[ 3 \text{ (выбор игрока)} \times 1 \text{ (выбор 1 для другого)} \times 1 \text{ (выбор 1 для третьего)} = 3. ]
Сценарий с 13:
- Повторяем аналогичные шаги, один из игроков выбирает 13, остальные выбирают 1.
Таким образом, для второго случая также:
[ 3 \text{ (выбор игрока)} \times 1 \text{ (выбор 1 для другого)} \times 1 \text{ (выбор 1 для третьего)} = 3. ]
Теперь суммируем случаи:
[ 3 + 3 = 6 \text{ благоприятных исходов}. ]
Вероятность:
Теперь мы можем найти вероятность:
[
P(\text{простое число}) = \frac{\text{количество благоприятных исходов}}{\text{общее количество исходов}} = \frac{6}{125}.
]
Таким образом, вероятность того, что произведение чисел на карточках будет простым числом, равна:
[
\frac{6}{125}.
]
