Пете, Васе и Толе выдали одинаковые наборы из пяти карточек: 1, 4, 5, 6, 13. Каждый случайно выбирает одну из своих карточек и выкладывает на стол. Найдите вероятность того, что произведение чисел на карточках — простое число.

Чтобы произведение чисел на карточках было простым, одно из чисел должно быть простым, а все остальные — равны 1. Однако, среди данных карточек, только числа 4, 5, 6 и 13 могут быть использованы для образования простого произведения. Простое число может быть получено следующим образом: 1. Один игрок выбирает простое число (из карточек 5 или 13), а остальные выбирают 1. 2. Остальные игроки не могут выбрать число, которое сделает произведение составным. Рассмотрим возможные ситуации. Из карточек: - 1. Не считается, так как просто умножается на любое. - 4. Составное число. - 5. Простое число. - 6. Составное число. - 13. Простое число. Таким образом, только карточки 5 и 13 могут привести к простому произведению, если другие карточки будут 1. Теперь рассмотрим все возможные случаи. Выбор каждого игрока из 5 карточек может происходить независимо, поэтому у нас есть \(5 \times 5 \times 5 = 125\) возможных комбинаций. Теперь найдем благоприятные случаи, которые соответствуют нашим требованиям. - Если хотя бы один выбрал, например, 5, то два других игрока должны выбрать 1. Возможны действия: - (5, 1, 1) - любой из 3-х игроков может взять 5, а остальные по 1. Это можно выбрать 3 случая: - Игрок 1 выбрал 5 и игроки 2 и 3 выбрали 1. - Игрок 2 выбрал 5 и игроки 1 и 3 выбрали 1. - Игрок 3 выбрал 5 и игроки 1 и 2 выбрали 1. Таким образом, всего: - 3 случая для 5. - То же самое для 13: - Если один выбрал 13, а двое 1: - (13, 1, 1) - аналогично 3 случаям выше. Итого: - 3 случая для 5 и 3 случая для 13 дают всего 6 благоприятных случаев. Следовательно, вероятность P того, что произведение чисел на карточках будет простым: \[ P = \frac{благоприятные \, случаи}{все \, случаи} = \frac{6}{125}. \] Следовательно, вероятность того, что произведение чисел на карточках — простое число, равна \(\frac{6}{125}\).