Пете, Васе и Толе выдали одинаковые наборы из пяти карточек: 1, 4, 5, 6, 13. Каждый случайно выбирает одну из своих карточек и выкладывает на стол. Найдите вероятность того, что…

Чтобы произведение чисел на карточках было простым, одно из чисел должно быть простым, а все остальные — равны 1. Однако, среди данных карточек, только числа 4, 5, 6 и 13 могут быть использованы для образования простого произведения.

Простое число может быть получено следующим образом:

1. Один игрок выбирает простое число (из карточек 5 или 13), а остальные выбирают 1.
2. Остальные игроки не могут выбрать число, которое сделает произведение составным.

Рассмотрим возможные ситуации.

Из карточек:

• 1. Не считается, так как просто умножается на любое.
• 4. Составное число.
• 5. Простое число.
• 6. Составное число.
• 13. Простое число.

Таким образом, только карточки 5 и 13 могут привести к простому произведению, если другие карточки будут 1.

Теперь рассмотрим все возможные случаи. Выбор каждого игрока из 5 карточек может происходить независимо, поэтому у нас есть \(5 \times 5 \times 5 = 125\) возможных комбинаций.

Теперь найдем благоприятные случаи, которые соответствуют нашим требованиям.

• Если хотя бы один выбрал, например, 5, то два других игрока должны выбрать 1. Возможны действия:
  • (5, 1, 1) - любой из 3-х игроков может взять 5, а остальные по 1.

Это можно выбрать 3 случая:

• Игрок 1 выбрал 5 и игроки 2 и 3 выбрали 1.
• Игрок 2 выбрал 5 и игроки 1 и 3 выбрали 1.
• Игрок 3 выбрал 5 и игроки 1 и 2 выбрали 1.

Таким образом, всего:

• 3 случая для 5.

• То же самое для 13:

• Если один выбрал 13, а двое 1:

  • (13, 1, 1) - аналогично 3 случаям выше.

Итого:

• 3 случая для 5 и 3 случая для 13 дают всего 6 благоприятных случаев.

Следовательно, вероятность P того, что произведение чисел на карточках будет простым: \[ P = \frac{благоприятные \, случаи}{все \, случаи} = \frac{6}{125}. \]

Следовательно, вероятность того, что произведение чисел на карточках — простое число, равна \(\frac{6}{125}\).