Дано

Для решения этих задач, связанных с вероятностью и математическим ожиданием, давайте разберем каждую задачу по порядку:

Задача 2

Дано распределение случайной величины \(X\):

• Значения \(X\): 32, 37, 41.
• Вероятности \(P\): 0.3, 0.4, 0.3.

Найдите математическое ожидание (\(E(X)\)):

Математическое ожидание (или среднее) случайной величины находится по формуле: \[ E(X) = \sum (x_i \cdot p_i) \]

Где \(x_i\) — значения случайной величины, \(p_i\) — соответствующие вероятности.

\[ E(X) = 32 \cdot 0.3 + 37 \cdot 0.4 + 41 \cdot 0.3 \] \[ E(X) = 9.6 + 14.8 + 12.3 \] \[ E(X) = 36.7 \]

Найдите дисперсию (\(D(X)\)):

Дисперсия случайной величины вычисляется по формуле: \[ D(X) = \sum ((x_i - E(X))^2 \cdot p_i) \]

\[ D(X) = (32 - 36.7)^2 \cdot 0.3 + (37 - 36.7)^2 \cdot 0.4 + (41 - 36.7)^2 \cdot 0.3 \] \[ D(X) = (−4.7)^2 \cdot 0.3 + (0.3)^2 \cdot 0.4 + (4.3)^2 \cdot 0.3 \] \[ D(X) = 6.63 + 0.036 + 5.547 \] \[ D(X) = 12.213 \]

Среднее квадратическое отклонение:

Среднее квадратическое отклонение (\(\sigma\)) — это квадратный корень из дисперсии: \[ \sigma = \sqrt{D(X)} \] \[ \sigma = \sqrt{12.213} \] \[ \sigma \approx 3.495 \]

Теперь округлим до сотых:

• Математическое ожидание: 36.70
• Дисперсия: 12.21
• Среднее квадратическое отклонение: 3.50

Задача 4

Дано другое распределение случайной величины \(X\):

• Значения \(X\): 3, 4, 5.
• Вероятности \(P\): 0.3, 0.3, 0.4.

Математическое ожидание дано: 4. Примерно проверим, как оно может быть выбрано и рассчитаем, если распределение отличается.

Подтверждение математического ожидания (\(E(X) = 4\)):

\[ E(X) = 3 \cdot 0.3 + 4 \cdot 0.3 + 5 \cdot 0.4 \] \[ E(X) = 0.9 + 1.2 + 2.0 \] \[ E(X) = 4.1 \]

Таким образом, при данных вероятностях ожидание 4 является приближённым.

Задача просит найти скрытое значение X, если ожидание 1.71:

• Распределение и вероятности можно пересчитать, если начальные данные о вероятности отличаются.

Эти решения демонстрируют, как вычислять ожидание, дисперсию и среднее квадратическое отклонение для случайной величины. Если возможны конкретные изменения, уточните начальные данные.