выясни имеет ли решение система уравнений 2x + 7y = 1 x - 3y = 2
Чтобы выяснить, имеет ли решение система уравнений, мы рассмотрим систему:
\( 2x + 7y = 1 \)
\( x - 3y = 2 \)
Для нахождения решения этой системы мы можем использовать метод подстановки или метод сложения (метод Гаусса). В данном случае я использую метод подстановки.
Шаг 1: Выразим одну переменную через другую
Начнем с уравнения (2):
\[ x - 3y = 2 \]
Выразим \( x \):
\[ x = 2 + 3y \]
Шаг 2: Подставим полученное выражение для \( x \) в первое уравнение
Теперь подставим \( x = 2 + 3y \) в уравнение (1):
\[ 2(2 + 3y) + 7y = 1 \]
Шаг 3: Упрощим уравнение
Теперь раскроем скобки:
\[ 4 + 6y + 7y = 1 \]
Соберем подобные слагаемые:
\[ 4 + 13y = 1 \]
Шаг 4: Решим уравнение относительно \( y \)
Переносим 4 на другую сторону:
\[ 13y = 1 - 4 \]
\[ 13y = -3 \]
Теперь делим обе стороны на 13:
\[ y = -\frac{3}{13} \]
Шаг 5: Найдем значение \( x \)
Теперь, когда мы нашли значение \( y \), подставим его обратно в выражение для \( x \):
\[ x = 2 + 3y \]
Подставляем \( y \):
\[ x = 2 + 3 \left(-\frac{3}{13}\right) \]
\[ x = 2 - \frac{9}{13} \]
Приведем \( x \) к общему знаменателю
Заменим 2 на дробь с общим знаменателем 13:
\[ x = \frac{26}{13} - \frac{9}{13} \]
\[ x = \frac{26 - 9}{13} = \frac{17}{13} \]
Шаг 6: Ответ
Теперь у нас есть значения для обеих переменных:
\[ x = \frac{17}{13} \]
\[ y = -\frac{3}{13} \]
Система имеет единственное решение, и оно состоит в том, что \( x = \frac{17}{13} \) и \( y = -\frac{3}{13} \).
Таким образом, у системы уравнений есть решение!
