найти математическое ожидание произведения числа очков которые могут выпасть при одном бросании двух игральных костей

Чтобы найти математическое ожидание произведения числа очков, которые могут выпасть при одном бросании двух игральных костей, давайте рассмотрим процесс шаг за шагом.

Шаг 1: Возможные исходы бросания двух костей

При бросании одной игральной кости, может выпасть одно из шести значений: 1, 2, 3, 4, 5 или 6. Поскольку мы бросаем две кости, общее количество возможных исходов будет:

\[ 6 \times 6 = 36 \]

Каждая пара (x, y), где x — количество очков на первой кости, а y — количество очков на второй кости, является возможным исходом. В этом контексте о нас интересует произведение x * y.

Шаг 2: Вычисление произведения

Теперь найдем произведение x * y для каждой пары:

• (1, 1) → 1 * 1 = 1
• (1, 2) → 1 * 2 = 2
• (1, 3) → 1 * 3 = 3
• (1, 4) → 1 * 4 = 4
• (1, 5) → 1 * 5 = 5
• (1, 6) → 1 * 6 = 6
• (2, 1) → 2 * 1 = 2
• (2, 2) → 2 * 2 = 4
• (2, 3) → 2 * 3 = 6
• (2, 4) → 2 * 4 = 8
• (2, 5) → 2 * 5 = 10
• (2, 6) → 2 * 6 = 12
• (3, 1) → 3 * 1 = 3
• (3, 2) → 3 * 2 = 6
• (3, 3) → 3 * 3 = 9
• (3, 4) → 3 * 4 = 12
• (3, 5) → 3 * 5 = 15
• (3, 6) → 3 * 6 = 18
• (4, 1) → 4 * 1 = 4
• (4, 2) → 4 * 2 = 8
• (4, 3) → 4 * 3 = 12
• (4, 4) → 4 * 4 = 16
• (4, 5) → 4 * 5 = 20
• (4, 6) → 4 * 6 = 24
• (5, 1) → 5 * 1 = 5
• (5, 2) → 5 * 2 = 10
• (5, 3) → 5 * 3 = 15
• (5, 4) → 5 * 4 = 20
• (5, 5) → 5 * 5 = 25
• (5, 6) → 5 * 6 = 30
• (6, 1) → 6 * 1 = 6
• (6, 2) → 6 * 2 = 12
• (6, 3) → 6 * 3 = 18
• (6, 4) → 6 * 4 = 24
• (6, 5) → 6 * 5 = 30
• (6, 6) → 6 * 6 = 36

Шаг 3: Вычисление математического ожидания

Теперь нам нужно найти математическое ожидание произведения. Математическое ожидание E(XY) рассчитывается по формуле:

\[ E(XY) = \sum_{(x, y)} P(X=x, Y=y) \cdot (x \cdot y) \]

Поскольку каждая пара (x, y) равновероятна, вероятность каждой конкретной пары (x, y) составляет

\[ P(X=x, Y=y) = \frac{1}{36} \]

Являясь обобщением по всем парам:

\[ E(XY) = \frac{1}{36} \sum_{x=1}^{6} \sum_{y=1}^{6} (x \cdot y) \]

Шаг 4: Суммирование всех произведений

Теперь давайте посчитаем сумму всех произведений:

\[ \sum_{x=1}^{6} \sum_{y=1}^{6} (x \cdot y) = \sum_{x=1}^{6} (x \cdot (1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6)) = \sum_{x=1}^{6} (x \cdot 21) \]

Где сумма \(1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6\) равна 21, и тогда:

\[ = 21 \cdot (1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6) = 21 \cdot 21 = 441 \]

Шаг 5: Подставим в формулу для ожидания

Теперь подставим найденные значения:

\[ E(XY) = \frac{1}{36} \cdot 441 = \frac{441}{36} = 12.25 \]

Ответ

Таким образом, математическое ожидание произведения числа очков, которые могут выпасть при одном бросании двух игральных костей, равно \(12.25\).