Постройте график функции y = - x ^ 2 - 2x + 1 при >= -3. y = - x - 2 при x < - 3. Определите, при каких значениях т прямая ут имеет с графиком ровно две общие точки.
Чтобы построить график заданных функций и определить, при каких значениях \( t \) прямая \( y = t \) имеет с графиком ровно две общие точки, следуем этим шагам.
Шаг 1: Построение графиков
Наша задача состоит из двух частей — одна функция определена для \( x \geq -3 \), а другая — для \( x < -3 \).
Первая часть функции: \[ y = -x^2 - 2x + 1 \quad (x \geq -3) \] Это квадратная функция, у которой коэффициент при \( x^2 \) отрицательный, значит, график будет параболой, открытой вниз.
Для поиска вершины параболы используем формулу для координат вершины \( x = -\frac{b}{2a} \):
- \( a = -1 \), \( b = -2 \)
- \( x = -\frac{-2}{2 \cdot -1} = -1 \).
Теперь подставляем \( x = -1 \) в функцию, чтобы найти координаты вершины: \[ y = -(-1)^2 - 2(-1) + 1 = -1 + 2 + 1 = 2. \] То есть, вершина параболы находится в точке \( (-1, 2) \).
Для построения графика отметим также точки на краях области определения:
- При \( x = -3 \): \[ y = -(-3)^2 - 2(-3) + 1 = -9 + 6 + 1 = -2 \quad \Rightarrow \quad (-3, -2). \]
Значит, на этом отрезке мы видим две точки: \( (-1, 2) \) и \( (-3, -2) \).
Для построения графика этой функции (параболы) мы можем также выбрать несколько сторонних \( x \) значений, например, \( x = 0 \): \[ y = -0^2 - 2 \cdot 0 + 1 = 1 \quad \Rightarrow \quad (0, 1). \]
Вторая часть функции: \[ y = -x - 2 \quad (x < -3) \] Это линейная функция с угловым коэффициентом -1 и свободным членом -2. Для построения графика нужно лишь нарисовать линию:
- При \( x = -3 \): \[ y = -(-3) - 2 = 3 - 2 = 1 \quad \Rightarrow \quad (-3, 1). \] Линия будет продолжаться в сторону отрицательных \( x \).
Шаг 2: Определение значений \( t \)
Нам нужно определить, при каких значениях \( t \) прямая \( y = t \) будет иметь ровно две общие точки с графиком.
Для первой части функции (парабола): Парабола открыта вниз, и если \( t \) находится между максимумом (вершиной параболы) и значением в точке, где \( x = -3 \):
- Находим вершину: \( t = 2 \) — максимальное значение.
- Значение в точке \( x = -3 \): \( t = -2 \).
- Значит, прямая \( y = t \) будет иметь две общие точки с параболой, если \( -2 < t < 2 \).
Для второй части функции (линия): Эта функция будет пересекаться с прямой \( y = t \) в любом значении, когда \( t < 1 \) (поскольку линия имеет отрицательный наклон и непрерывна).
Итог:
Таким образом, прямая \( y = t \) будет иметь ровно две общие точки с графиком функций, если: \[ -2 < t < 1. \]
Это значит, что подбирая допустимые \( t \) значения, мы получаем необходимые пересечения.
