(3x + 5y = 14, (7x - 5y = 16.

Давайте решим эту систему линейных уравнений:

1. \( 3x + 5y = 14 \)
2. \( 7x - 5y = 16 \)

Для начала, мы можем использовать метод сложения (или вычитания) для решения этой системы. Посмотрим, как это можно сделать шаг за шагом.

Шаг 1: Сложение уравнений

Первый шаг заключается в том, чтобы сложить оба уравнения. Заметим, что в каждом из уравнений есть \( 5y \) и \( -5y \), что позволяет исключить \( y \).

Сначала запишем уравнения в их текущем виде:

\[ 3x + 5y = 14 \quad (1) \] \[ 7x - 5y = 16 \quad (2) \]

Теперь сложим эти уравнения:

\[ (3x + 5y) + (7x - 5y) = 14 + 16 \] Это сокращается до:

\[ 10x = 30 \]

Шаг 2: Найдем значение x

Теперь мы можем выразить \( x \):

\[ x = \frac{30}{10} = 3 \]

Шаг 3: Подставим значение x в одно из уравнений

Теперь, когда мы знаем \( x \), подставим его значение в одно из уравнений, чтобы найти \( y \). Давайте подставим в первое уравнение:

\[ 3(3) + 5y = 14 \]

Это становится:

\[ 9 + 5y = 14 \]

Теперь вычтем 9 из обеих сторон:

\[ 5y = 14 - 9 \] \[ 5y = 5 \]

Шаг 4: Найдем значение y

Теперь выразим \( y \):

\[ y = \frac{5}{5} = 1 \]

Шаг 5: Ответ

Мы нашли значения переменных:
\( x = 3 \)
\( y = 1 \)

Таким образом, решением данной системы уравнений является пара \( (x, y) = (3, 1) \).

Проверка

Важно убедиться, что наши решения правильные, подставив полученные значения обратно в оба уравнения:

1. Для \( 3x + 5y = 14 \): \[ 3(3) + 5(1) = 9 + 5 = 14 \quad \text{(верно)} \]

2. Для \( 7x - 5y = 16 \): \[ 7(3) - 5(1) = 21 - 5 = 16 \quad \text{(верно)} \]

Таким образом, результаты подтвердили себя. Решение \( (x, y) = (3, 1) \) является правильным.