Определить верные равенства

Чтобы определить верные равенства, рассмотрим каждое из них и проверим их корректность.

1. \(\int \frac{1}{\cos^2 4x} \, dx = \tg 4x + C\):

   • \(\frac{1}{\cos^2 4x}\) — это \(\sec^2 4x\), а интеграл от \(\sec^2 4x\) равен \(\tg 4x\). Это равенство верно.

2. \(\int \sin \left(\frac{x}{2} - 1 \right) \, dx = \cos\left(\frac{x}{2} - 1 \right) + C\):

   • Здесь неправильно взят интеграл. Интеграл от \(\sin u\) — это \(-\cos u\). С учетом замены переменной \(\left(\frac{x}{2} - 1\right)\), производная \(\left(\frac{x}{2} - 1\right)\) равна \(\frac{1}{2}\), и нужно учитывать \(-2 \cdot \cos\left(\frac{x}{2} - 1\right)\).
   • Это равенство неверно.

3. \(\int \frac{1}{\sin^2 (x - 4)} \, dx = -\ctg(x - 4) + C\):

   • \(\frac{1}{\sin^2(x-4)}\) — это \(\csc^2(x-4)\), а интеграл от \(\csc^2 u\) равен \(-\cot u\).
   • Это равенство верно.

4. \(\int 10\cos 9x \, dx = \sin 9x + C\):

   • Производная \(\sin 9x\) равна \(9\cos 9x\). Следовательно, интеграл должен быть \(\frac{10}{9}\sin 9x + C\).
   • Это равенство неверно.

5. \(\int \sin 4x \, dx = 2\cos 4x + C\):

   • Интеграл от \(\sin u\) равен \(-\cos u\). Таким образом, интеграл от \(\sin 4x\) равен \(-\frac{1}{4}\cos 4x + C\).
   • Это равенство неверно.

6. \(\int (2x - 3)^6 \, dx = \frac{2}{7}(2x - 3)^7 + C\):

   • Используем замену \(u = 2x - 3\), тогда \(du = 2dx\), и при интегрировании мы получим \(\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{7} u^7 = \frac{1}{14}(2x - 3)^7\).
   • Это равенство неверно.

Итак, верные равенства:

• \(\int \frac{1}{\cos^2 4x} \, dx = \tg 4x + C\)
• \(\int \frac{1}{\sin^2 (x - 4)} \, dx = -\ctg(x - 4) + C\)