В данном примере у нас есть прямоугольный треугольник ( \triangle MNK ) с углами ( \angle N = 90^\circ ) и ( \angle K = 60^\circ ). Таким образом, третий угол ( \angle M ) можно определить как:
[
\angle M = 180^\circ - \angle N - \angle K = 180^\circ - 90^\circ - 60^\circ = 30^\circ
]
Теперь у нас есть треугольник с углами ( 30^\circ ), ( 60^\circ ) и ( 90^\circ ). Это типичный треугольник, в котором стороны соотносятся между собой так:
- Сторона напротив угла в 30° (в данном случае ( NK )) равна половине гипотенузы ( MK ).
- Сторона напротив угла в 60° (в данном случае ( MN )) равна ( \frac{\sqrt{3}}{2} ) от гипотенузы ( MK ).
Далее, из условия задачи нам известно, что:
[
MN + NK = 24,78 \text{ мм}
]
Обозначим гипотенузу ( MK ) через ( x ). При этом:
- ( NK = \frac{1}{2}x ) (поскольку это сторона напротив угла 30°)
- ( MN = \frac{\sqrt{3}}{2}x ) (поскольку это сторона напротив угла 60°)
Теперь подставим эти выражения в уравнение:
[
\frac{\sqrt{3}}{2}x + \frac{1}{2}x = 24,78
]
Объединим подобные:
[
\left(\frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{1}{2}\right)x = 24,78
]
Теперь можно привести к общему знаменателю:
[
\frac{\sqrt{3} + 1}{2}x = 24,78
]
Умножаем обе стороны на 2, чтобы избавиться от дроби:
[
(\sqrt{3} + 1)x = 49,56
]
Теперь найдём значение ( x ):
[
x = \frac{49,56}{\sqrt{3} + 1}
]
Теперь подставим значение ( \sqrt{3} \approx 1,732 ):
[
x = \frac{49,56}{1,732 + 1} = \frac{49,56}{2,732} \approx 18,15 \text{ мм}
]
Таким образом, гипотенуза ( MK ) равна примерно ( 18,15 ) мм.
